2022年線性代數(shù)第五章《特征值與特征向量》自測題及答案

第五章特征值與特征向量自測題（100 分鐘）一、填空題：（共 20 分，每小題4 分）（1）設(shè)三階矩陣A的特征值為1，1，2，則A1的特征值為（）；A*的特征值為（）；（3E+A）的特征值為（）。（2）設(shè)三階矩陣A0，則A的全部特征向量為（）。（3）若AE，則A（）。（4）已知Ax10100002與B10000002y相似，則x=（），y=（）。（5）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值是1，2，3，矩陣A的屬于特征值1，2 的特征向量分別是T)1,1,1(1，T)1,2,1(2，則A的屬于特征值3 的特征向量是（）。二、選擇題（共20 分，每小題4 分）（1）設(shè)A=211102113，則向量=（）是A的屬于特征值2的一個特征向量。（A）T，)1,01(；（B）T，)1,01(；（C）T，)0,11(；（D）T，)1,10(（2）矩陣 A300030000與矩陣（）相似。（A）000030300；（B）300130010；（C）300000003；（D）310031000（3）下述結(jié)論正確的有（）。（A）n階矩陣A可對角化的充分必要條件是A有n個互不相同的特征值；（B）n階矩陣A可對角化的必要條件是A有n個互不相同的特征值；（C）有相同特征值的兩個矩陣一定相似；（D）相似的矩陣一定有相同的特征值。（4）下述結(jié)論正確的有（），其中A為n階矩陣。（A）方程0)(0 xAE的每一個解向量都是對應(yīng)于特征值0的特征向量；（B）若21,為方程0)(0 xAE的一個基礎(chǔ)解系，則2211CC（21,CC為非零常數(shù)）是A的屬于特征值0的全部的特征向量；（C）A與TA有相同的特征值和相同的特征向量；精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 7 頁（D）A與TA有相同的特征多項式。（5）設(shè)0011100yxA有 3 個線性無關(guān)的特征向量，則yx和應(yīng)滿足條件（）（A）yx；（B）yx；（C）yx2；（D）xy2。三、計算題（每小題15 分，共 45 分）（1）（共 15分）設(shè) A 為三階矩陣，1a，2，3是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足：1A1+2+3，3222A32332A（5 分）求矩陣B，使得：A（1，2，3）=（1，2，3）B；（5 分）求矩陣A的特征值；（5 分）求可逆矩陣P，使得1PA P為對角形矩陣。（2）（共15 分）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的秩為2，621是A的二重特征值。若T，)011(1，T，)112(2，T，)321(3都是A的屬于特征值6 的特征向量。（7 分）求A的另一特征值和對應(yīng)的特征向量；（8 分）求矩陣A。（3）（共 15 分）設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量T，)121(1，T，)110(2是齊次線性方程組0AX的兩個解。（5 分）求A的特征值與特征向量；（5 分）求正交矩陣Q和對角矩陣，使AQQT；（5 分）求A及6)23(EA，其中E為三階單位矩陣四、證明題（共15 分，每小題5 分）（1）（5 分）設(shè)A是 n 階正交矩陣，且1A，則1是A的一個特征值。（2）（5 分）設(shè)21,是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，1，2，則1，)(21A線性無關(guān)的充分必要條件是：02。（3）（5分）設(shè)A為n階 矩 陣，且 存 在 向 量0i),2,1(ni，有iiiA),2,1(ni，令：211，,3221nn的線性相關(guān)性，并加以證明。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 7 頁第五章特征值與特征向量自測題參考答案一、填空題（1）)2111(，；)122(，；)542(，。（2）332211CCC，其 中T)0,0,1(1，T)0,1,0(2，T)1,0,0(3，（321,CCC為不全為零的任意常數(shù)）。（3）E。（4）1,0 yx（5）TC)1,2,3(，（C為非零常數(shù)）。二、選擇題（1）C；（2）C；（3）D；（4）D；（5）B。三、計算題：（1）解：A（123）（A1A2A3）=（1+2+3 22+3 22+33）=（123）311221001 =（123）BB311221001（5 分）A（123）（123）B又1,2,3,線性無關(guān)，（123）可逆，（123）1A（123）B，A與B相似，即A與B有相同的特征值，而0413112210012BE精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 7 頁41321，A的特征值為：1，1，4（10 分）當(dāng)0201321xxx：XBE，可得時解之，一個基礎(chǔ)解系為：,1,2,0,1,0,221TT當(dāng)0-004321xxx：XBE，可得時解之，一個基礎(chǔ)解系為：,1,1,03T令Q（1，2，3）32313131316100211111200021Q，則4111BQQ令P（123）Q（123）111120002 =（21-3 22-32+3）則APP14111BQQ（15 分）（2）解：621是A的二重特征值，A的 屬 于 特 征 性6 的 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 有2 個，由 題 設(shè) 知：T，)011(1，T，)112(2為A的屬于特征值6 的線性無關(guān)的特征向量。又 r2)(A，0A，A的 另 一 特 征 值03，設(shè)03的 所 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 為：Txxx),(321，則有：,01T,02T即：精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 7 頁02032121xxxxx（）解（），得一基礎(chǔ)解系為：T1,1,1，故A的 屬于特征值03的全 部特 征向量為：Tkk)1,1,1(，)0(k令P（1，2，3）則有：0661APPA=1066PP=110111121066313131323131110=422242224（3）解：TTA)3,3,3()1,1,1(0T)1,1,1(是A的特征向量。又21,都是0AX的解，說明它們也都是A的特征向量，特征值為 0；由于21,線性無關(guān)，特征值 0 的重數(shù)大于1，于是A的特征值為：3，0，0；屬于 3 的特征 向 量 為：)0(0CC；屬 于0的 特 征 向 量 為：212211,(CCCC不全為零）；將0單位化，得：T33,33,330，對21,施密特正交化，得：T22,22,01，T66,66,362，令：),(210Q，則Q是正交矩陣，并且0031AQQAQQT003A精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 7 頁110A220AA（0，1，2）=（30，10，20）即：111121011A=003003003解上面這個矩陣方程，得：111111111A另外，EEAAEA49493)23(2232623)23(EAEAE64729四、證明題：（1）證明：A是正交矩陣，E，AAT1AAT又AEAAAAAETTTTTEAEAAEAAE02AE0AE，即：1是A的一個特征值。（2）證明：設(shè)有一組數(shù)1k，2k使021211Akk即：0221211AkAkk又222111,AA，式為：022211211kkk精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 7 頁02221121kkk由于已知2121與線性無關(guān)，式成立當(dāng)且僅當(dāng)：0022121kkk解齊次線性方程組，由于其系數(shù)行列式為：22101D，由于當(dāng)且僅當(dāng)，D時0僅有零解：,021kk故211,A線性無關(guān)的充分必要條件是（3）證明：),2,1(niiAii，0i),2,1(ni 1，2，n是n階矩陣A的n個不同的特征值，而n，21是A的分別屬于1，2，n的線性無關(guān)的特征向量。又，211，322，nn1設(shè)有一組數(shù)：nkkk,21使得：02211nnkkk即：0)()()(1322211nnkkk也即：0)()()(1232121nnkkkkkk 由于n,21線性無關(guān)，故式成立當(dāng)且僅當(dāng)：00013221nkkkkkk齊次線性方程組的系數(shù)行列式：100101100011D=1+1)1(1n當(dāng)n為偶數(shù)時，D=1+（-1）=0，有非零解；當(dāng)n為奇數(shù)時，D=1+1=20，僅有零解；由式有：當(dāng)n為偶數(shù)時，n,21線性相關(guān)，當(dāng)n為奇數(shù)時，n,21線性無關(guān)。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 7 頁