高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題1 集合與常用邏輯用語 第4練 用好基本不等式 文

第4練用好基本不等式題型分析高考展望基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效工具，在高考中經(jīng)常考查，有時也會對其單獨考查題目難度為中等偏上應用時，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應用條件，只有具備公式應用的三個條件時，才可應用，否則可能會導致結(jié)果錯誤體驗高考1(2015四川)如果函數(shù)f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A16 B18 C25 D.答案B解析當m2時，f(x)在，2上單調(diào)遞減，0n8，mn2n16.m2時，拋物線的對稱軸為x.據(jù)題意得，當m2時，2，即2mn12，6，mn18，由2mn且2mn12得m3，n6.當m2時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即m2n18，9，mn，由2nm且m2n18得m92，故應舍去要使得mn取得最大值，應有m2n18(m2，n8)mn(182n)n(1828)816，綜上所述，mn的最大值為18，故選B.2(2015陜西)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.選C.3(2015天津)已知a0，b0，ab8，則當a的值為_時，log2alog2(2b)取得最大值答案4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，當且僅當log2a1log2b，即a2b時，等號成立，此時a4，b2.4(2016江蘇)在銳角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是_答案8解析在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C全為銳角，兩邊同時除以cos Bcos C得：tan Btan C2tan Btan C.又tan Atan(BC).tan A(tan Btan C1)tan Btan C.則tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2，2，tan Atan Btan C8.5(2016上海)設(shè)a0，b0.若關(guān)于x，y的方程組無解，則ab的取值范圍是_答案(2，)解析由已知，ab1，且ab，ab22.高考必會題型題型一利用基本不等式求最大值、最小值1利用基本不等式求最值的注意點(1)在運用基本不等式求最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯2結(jié)構(gòu)調(diào)整與應用基本不等式基本不等式在解題時一般不能直接應用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”，即把研究對象化成適用基本不等式的形式常見的轉(zhuǎn)化方法有：(1)xxaa(x>a)(2)若1，則mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均為正數(shù))例1(1)已知正常數(shù)a，b滿足3，則(a1)(b2)的最小值是_答案解析由3，得b2a3ab，(a1)(b2)2abab24ab2，又a0，b0，2，ab(當且僅當b2a時取等號)，(a1)(b2)的最小值為42.(2)求函數(shù)y(x1)的最小值解設(shè)x1t，則xt1(t0)，yt52 59.當且僅當t，即t2，且此時x1時，取等號，ymin9.點評求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式在利用基本不等式時往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應用的條件，即“和”或“積”為定值等號能夠取得變式訓練1已知x0，y0，且2x5y20，(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，當且僅當2x5y時等號成立因此有解得此時xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，當且僅當時等號成立由解得的最小值為.題型二基本不等式的綜合應用例2(1)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析平均每件產(chǎn)品的費用為y2 20，當且僅當，即x80時取等號，所以每批應生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小(2)某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，求：倉庫面積S的最大允許值是多少？為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設(shè)計為多長？解設(shè)鐵柵長為x米，一側(cè)磚墻長為y米，則頂部面積Sxy，依題設(shè)，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 2002 20xy120 20xy120 20S，則S61600，即(10)(16)0，故010，從而0S100，所以S的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是40x90y且xy100，解得x15，即鐵柵的長應設(shè)計為15米點評基本不等式及不等式性質(zhì)應用十分廣泛，在最優(yōu)化實際問題，平面幾何問題，代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式，應用時一定要注意檢驗“三個條件”是否具備變式訓練2(1)已知直線axby60(a0，b0)被圓x2y22x4y0截得的弦長為2，則ab的最大值是_答案解析圓的方程變形為(x1)2(y2)25，由已知可得直線axby60過圓心O(1,2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2，ab(當且僅當a2b時等號成立)，故ab的最大值為.(2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)x210x(萬元)當年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)51x1 450(萬元)每件商品售價為0.05萬元通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？解當0x80時，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250.當x80時，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)當0x80時，L(x)x240x250.對稱軸為x60，即當x60時，L(x)最大950(萬元)當x80時，L(x)1 200(x)1 2002 1 000(萬元)，當且僅當x100時，L(x)最大1 000(萬元)，綜上所述，當x100時，年獲利最大高考題型精練1已知x1，y1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，則xy()A有最大值e B有最大值C有最小值e D有最小值答案C解析x1，y1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，ln xln y2，ln xln yln xy1xye.2若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. B.C5 D6答案C解析方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5(當且僅當，即x1，y時，等號成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y42 5，當且僅當y時等號成立，3x4y的最小值是5.3若正數(shù)a，b滿足1，則的最小值是()A1 B6C9 D16答案B解析正數(shù)a，b滿足1，b0，解得a1.同理可得b1，9(a1)2 6，當且僅當9(a1)，即a時等號成立，最小值為6.故選B.4已知a0，b0，若不等式0恒成立，則m的最大值為()A4 B16 C9 D3答案B解析因為a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因為26，當且僅當ab時等號成立，所以1016，所以m16，即m的最大值為16，故選B.5已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值為3，則m等于()A2 B2 C3 D4答案D解析由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)(當且僅當時取等號)(1m2)3，解得m4，故選D.6已知直線axbyc10(b，c0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是()A9 B8 C4 D2答案A解析圓x2y22y50化成標準方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1)，因為直線axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因為b，c0，所以24.當且僅當時等號成立由此可得b2c，且bc1，即b，c時，取得最小值9.7已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_答案6解析由已知得x.方法一(消元法)x0，y0，0y3，x3y3y3(y1)6266，當且僅當3(y1)，即y1，x3時，(x3y)min6.方法二x0，y0,9(x3y)xyx(3y)2，當且僅當x3y時等號成立設(shè)x3yt0，則t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故當x3，y1時，(x3y)min6.8已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則的最小值為_答案解析由條件可知a0，b0，c0，且b2ac，即b，故2，令t，則t2，所以yt在2，)上單調(diào)遞增，故其最小值為2.9已知x，yR且滿足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(當且僅當x2y時取等號)，又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(當且僅當x2y時取等號)，綜上可知4x24y212.10當x(0,1)時，不等式m恒成立，則m的最大值為_答案9解析方法一(函數(shù)法)由已知不等式可得m，設(shè)f(x)，x(0,1)令t3x1，則x，t(1,4)，則函數(shù)f(x)可轉(zhuǎn)化為g(t)，因為t(1,4)，所以5t4，0(t)51，9，即g(t)9，)，故m的最大值為9.方法二(基本不等式法)由已知不等式可得m，因為x(0,1)，則1x(0,1)，設(shè)y1x(0,1)，顯然xy1.故5()529，當且僅當，即y，x時等號成立所以要使不等式m恒成立，m的最大值為9.11運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50x100(單位：千米/時)假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值解(1)設(shè)所用時間為t(小時)，y214，x50,100所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是yx，x50,100(2)yx26，當且僅當，即x18時等號成立故當x18千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26元12某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價解(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x25時，不等式ax25850(x2600)x有解，等價于x25時，ax有解，x210(當且僅當x30時，等號成立)，a10.2，當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元