高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí) 文

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列1(2016課標(biāo)全國(guó)乙)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差數(shù)列性質(zhì)，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故選C.2(2016北京)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.3(2016江蘇)已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an公差為d，由題意可得：解得則a9a18d48320.4(2016課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_答案64解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，解得a1a2an(3)(2)(n4)，nN*，當(dāng)n3或4時(shí)，取到最小值6，此時(shí)取到最大值2664，a1a2an的最大值為64.1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問題、解決問題的綜合能力.熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算1通項(xiàng)公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)3性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中amanapaq.例1(1)已知數(shù)列an中，a3，a7，且是等差數(shù)列，則a5等于()A. B. C. D.(2)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1a79，a42，則S8等于()A15(1) B15C15 D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則4d，4d，解得d2.2d10，解得a5.(2)由a42，得a1a7a8，故a1，a7是方程x29x80的兩根，所以或因?yàn)榈缺葦?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以公比q>0.當(dāng)時(shí)q，所以S815(1)；當(dāng)時(shí)，q，所以S815.故選D.思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量跟蹤演練1(1)已知Sn是非零等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a79a3，則等于()A. B9C5 D.(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an>0，q>1，且a3a520，a2a664，則S6等于()A63 B48C42 D36答案(1)B(2)A解析(1)因?yàn)閍79a3，所以a7a310a3，所以9.故選B.(2)在等比數(shù)列an中，a2a664，a3a5a2a664.又a3a520，a3和a5為方程x220x640的兩根an>0，q>1，a3<a5，a516，a34.q2，a11，S663.故選A.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2)例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn (nN*)，且滿足anSn2n1.(1)求證：數(shù)列an2是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：<.證明(1)anSn2n1，令n1，得2a13，a1.anSn2n1，an1Sn12(n1)1 (n2，nN*)兩式相減，得2anan12，整理anan11，an2(an12)(n2)，數(shù)列an2是首項(xiàng)為a12，公比為的等比數(shù)列，an2n，an2.(2)，()()()<.思維升華(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法(2)q和aan1an1(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零跟蹤演練2(1)已知數(shù)列an中，a11，an12an3，則an_.(2)已知數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若數(shù)列bn滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以(bn，Tn) (nN*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ayx2xb (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng)，則稱數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”已知數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”，則()Abn一定為等比數(shù)列Bbn一定為等差數(shù)列Cbn只從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列Dbn只從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列答案(1)2n13(2)B解析(1)由已知可得an132(an3)，又a134，故an3是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an342n1，an2n13.(2)由已知條件可知，若數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則數(shù)列bn滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以(bn，Tn)(nN*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ayx2xb (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng)，即aTnbbnb，當(dāng)n1時(shí)，aT1bb1bab1bb1bbb1b0abab12b0，即b1；當(dāng)n2時(shí)，由aTnbbnb，及aTn1bbn1b，兩式相減得abn(bb)(bnbn1)(bb)(bnbn1)0，由各項(xiàng)均為正項(xiàng)，可得bnbn11(n2)，由等差數(shù)列的定義可知bn一定為等差數(shù)列熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解例3已知等比數(shù)列an的公比q>1，a12，且a1，a2，a38成等差數(shù)列，數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為.(1)分別求出數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知nN*，Snm恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值解(1)a12，且a1，a2，a38成等差數(shù)列，2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，q22q30，q3或1，而q>1，q3，an23n1.a1b1a2b2anbn，a1b1a2b2an1bn1，兩式相減得anbn2n3n1 (n2)an23n1，bnn(n2)，令n1，可求得b11，bnn.(2)數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，Sn1()n<.nN*，Snm恒成立，故實(shí)數(shù)m的最小值為.思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足an1，若bnt對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)由已知得Sn3an2，令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13anan1an，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以ann1.(2)由an1，得bnan1n1nnn1，所以bn1bn(n1)nnn1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最基本的知識(shí)點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，可以考查學(xué)生靈活變換的能力答案C解析a1>0，a6a7<0，a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，S12>0，S13<0，滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.2已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b12等于()A1 B2C4 D8押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識(shí)運(yùn)用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點(diǎn)答案C解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因?yàn)閿?shù)列bn是等比數(shù)列，所以b2b12b4.3已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，存在兩項(xiàng)am，an使得 4a1，則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20，解得q2或q1(與條件中等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)矛盾，舍去)，又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)()(5)(2 5)，當(dāng)且僅當(dāng)，mn6，即n2m4時(shí)取得最小值.4定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()A BC D押題依據(jù)先定義一個(gè)新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來(lái)高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺答案C解析等比數(shù)列性質(zhì)，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故選C.A組專題通關(guān)1在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則2a10a12的值為()A20 B22C24 D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120，解得a824，a8a122a10，2a10a12a824.2已知在等差數(shù)列an中，a1120，d4，若Snan (n2)，則n的最小值為()A60 B62C70 D72答案B解析由題意可知，Snna1d2n2122n，ana1(n1)d1244n，由Snan得2n2126n124，解得n1或n62，又n2，n62，故選B.3在等比數(shù)列an中，a14，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列Sn2也是等比數(shù)列，則q等于()A2 B2C3 D3答案C解析由題意可得q1，由數(shù)列Sn2是等比數(shù)列，可得S12，S22，S32成等比數(shù)列，所以(S22)2(S12)(S32)，所以(64q)224(1qq2)12，q3(q0舍去)故選C.4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S19>0，S20<0，則使Sn取得最大值的n為()A8 B9 C10 D11答案C解析由S19>0，得a1a19>0，則a10>0；由S20<0，得a1a20<0，則a10a11<0，a10>0，a11<0，使Sn取得最大值的n為10.故選C.5函數(shù)f(x)若數(shù)列an滿足anf(n) (nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C(2,3) D(1,3)答案C解析因?yàn)閍nf(n) (nN*)，an是遞增數(shù)列，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)需滿足三個(gè)條件解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選C.6若數(shù)列n(n4)n中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k_.答案4解析設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則有故k4.7數(shù)列an中，a12，a23，an (nN*，n3)，則a2 017_.答案2解析因?yàn)閍12，a23，所以a3，a4，a5，a6，a72，a83，所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列，所以a2 017a33661a12.8在等差數(shù)列an中，a1>0，a10a11<0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S1036，前18項(xiàng)和S1812，則數(shù)列|an|的前18項(xiàng)和T18的值是_答案60解析a1>0，a10a11<0，d<0，a10>0，a11<0，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.9已知數(shù)列an是等比數(shù)列，并且a1，a21，a3是公差為3的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bna2n，記Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，證明：Sn<.(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍1，a21，a3是公差為3的等差數(shù)列，所以即解得a18，q.所以ana1qn18()n124n.(2)證明因?yàn)?，所以?shù)列bn是以b1a24為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以Sn1()n<.10(2015四川)設(shè)數(shù)列an(n1,2,3，)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，從而a22a1，a32a24a1.又因?yàn)閍1，a21，a3成等差數(shù)列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an2n.(2)由(1)可得，所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1 000，因?yàn)?95121 0001 024210，所以n10，于是，使|Tn1|成立的n的最小值為10.B組能力提高11已知數(shù)列an滿足a11，且anan1()n (n2，且nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan BanCann2 Dan(n2)3n答案B解析因?yàn)閍nan1()n (n2，且nN*)1，令bn，則數(shù)列bn是首項(xiàng)為b13a13，公差為1的等差數(shù)列，所以bnb1(n1)13n1n2，所以an.12若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析數(shù)列an為等比數(shù)列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13已知數(shù)列an，bn滿足a1，anbn1，bn1 (nN*)，則b2 015_.答案解析anbn1，且bn1，bn1，a1，且a1b11，b1，bn1，1.又b1，2.數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，n1，bn.則b2 015.14已知非零數(shù)列an滿足a11，anan1an2an1 (nN*)(1)求證：數(shù)列1是等比數(shù)列；(2)若關(guān)于n的不等式<m3有解，求整數(shù)m的最小值；(3)在數(shù)列1(1)n中，是否存在首項(xiàng)、第r項(xiàng)、第s項(xiàng)(1<r<s6)，使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的r，s；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)證明由anan1an2an1，得1，即12(1)，數(shù)列1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)可得12n，故原不等式可化為<m3.設(shè)f(n)，則f(n1)f(n)>0，f(n)單調(diào)遞增，則f(n)minf(1)，于是<m3，即m>，故整數(shù)m的最小值為4.(3)解由(1)得an，設(shè)bn1(1)n2n(1)n，要使得b1，br，bs成等差數(shù)列，即b1bs2br，即32s(1)s2r12(1)r，得2s2r1(1)s2(1)r3.sr1，(1)s2(1)r30，故s為偶數(shù)，r為奇數(shù)，s4，r3或s6，r5.