高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第二篇 掌握技巧 快速解答客觀題 第2講 填空題的解法技巧練習 理

第2講填空題的解法技巧題型概述填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低，解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，不可“小題大做”方法一直接法直接法就是直接從題設出發(fā)，利用有關性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題直接法是求解填空題的基本方法例1(1)已知函數(shù)f(x)若f(a)3，則a_.(2)(2015北京)在ABC中，a4，b5，c6，則_.解析(1)a1時，f(a)1，不適合f(a)log2(1a)13，a3.(2)由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.答案(1)3(2)1思維升華利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準確地求解填空題的關鍵跟蹤演練1(1)已知F為雙曲線C：1的左焦點，P，Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則PQF的周長為_(2)(2015安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_答案(1)44(2)2n1解析(1)由題意，得|PQ|16，線段PQ過雙曲線的右焦點，則P，Q都在雙曲線的右支上由雙曲線的定義，可知|PF|PA|2a，|QF|QA|2a，兩式相加，得，|PF|QF|(|PA|QA|)4a，則|PF|QF|4a|PQ|431628，故PQF的周長為44.(2)由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，聯(lián)立方程解得或又數(shù)列an為遞增數(shù)列，a11，a48，從而a1q38，q2.數(shù)列an的前n項和為Sn2n1.方法二特例法當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出待求的結(jié)論這樣可大大地簡化推理、論證的過程例2(1)cos2cos2(120)cos2(240)的值為_(2)如圖，在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關系為_解析(1)令0，則原式cos20cos2120cos2240.(2)要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等，則需滿足與截面對應的交點E，F(xiàn)，G分別為中點即可故可以將三條棱長分別取為OA6，OB4，OC2，如圖，則可計算S13，S22，S3，故S3<S2<S1.答案(1)(2)S3<S2<S1思維升華求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解跟蹤演練2(1)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且6cos C，則_.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.答案(1)4(2)8解析(1)用特例法令銳角三角形ABC為等腰三角形，此時cos C.不妨設ab3(如圖)，作ADBC垂足為D，所以CD1，AD2，所以tan C2，tan Atan B，所以4.(2)根據(jù)函數(shù)特點取f(x)sinx，再由圖象可得(x1x2)(x3x4)(62)(22)8.方法三數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形例3(1)已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是_(2)已知函數(shù)f(x)log2x，g(x)若關于x的方程g(x)k有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是_解析(1)畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，d()2()22.最大值為點Q到點A的距離的平方，d16.取值范圍是2,16(2)畫出函數(shù)yg(x)的圖象(如圖)由圖知，當函數(shù)yg(x)和yk的圖象有兩個交點時，k>1.答案(1)2,16(2)(1，)思維升華數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷地得到問題的結(jié)論，充分應用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點，應用時要準確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關系跟蹤演練3(1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_(2)若函數(shù)yf(x)圖象上不同兩點M、N關于原點對稱，則稱點對M，N是函數(shù)yf(x)的一對“和諧點對”(點對M，N與N，M看作同一對“和諧點對”)已知函數(shù)f(x)則此函數(shù)的“和諧點對”有_對答案(1)(0,2)(2)2解析(1)將函數(shù)f(x)|2x2|b的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|2x2|的圖象與直線yb的交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合求解由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示則當0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點(2)作出f(x)的圖象，f(x)的“和諧點對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為yex (x<0)和yx24x(x<0)的圖象的交點個數(shù)(如圖)由圖象知，函數(shù)f(x)有兩對“和諧點對”方法四構造法用構造法解填空題的關鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構造出數(shù)學模型，從而簡化推導與運算過程構造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎之上的，首先應觀察題目，觀察已知(例如代數(shù)式)形式上的特點，然后積極調(diào)動思維，聯(lián)想、類比已學過的知識及各種數(shù)學結(jié)構、數(shù)學模型，深刻地了解問題及問題的背景(幾何背景、代數(shù)背景)，從而構造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學模型，達到快速解題的目的例4(1)如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，則球O的體積等于_(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)>1，f(0)4，則不等式f(x)>1(e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為_解析(1)如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD2R，所以R，故球O的體積V.(2)由f(x)>1得，exf(x)>3ex，構造函數(shù)F(x)exf(x)ex3，對F(x)求導得F(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由f(x)f(x)>1，ex>0，可知F(x)>0，即F(x)在R上單調(diào)遞增，又因為F(0)e0f(0)e03f(0)40，所以F(x)>0的解集為(0，)答案(1)(2)(0，)思維升華構造法實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，一般通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題在立體幾何中，補形構造是最為常用的解題技巧通過補形能將一般幾何體的有關問題在特殊的幾何體中求解，如將三棱錐補成特殊的長方體等跟蹤演練4(1)，(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關系是_(2)已知三個互不重合的平面、，m，n，且直線m、n不重合，由下列三個條件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的條件是_答案(1)<<(2)解析(1)由于，故可構造函數(shù)f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)()，令f(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.(2)構建長方體模型，如圖，觀察選項特點，可優(yōu)先判斷條件：取平面為平面ADDA，平面為平面ABCD，則直線m為直線AD.因為m，故可取平面為平面ABCD，因為n且n，故可取直線n為直線AB.則直線AD與直線AB為異面直線，故m與n不平行對于：、取中平面，取平面為平面BCCB，可取直線n為直線BC，故可推得mn；對于：，取中平面，取為平面ABCD，取直線n為直線BC，故可推得結(jié)論方法五正反互推法多選型問題給出多個命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論例5已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x0時，有f(x1)f(x)，且當x0,1)時，f(x)log2(x1)，給出下列命題：f(2 016)f(2 017)的值為0；函數(shù)f(x)在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；直線yx與函數(shù)f(x)的圖象有1個交點；函數(shù)f(x)的值域為(1,1)其中正確的命題序號有_解析根據(jù)題意，可在同一坐標系中畫出直線yx和函數(shù)f(x)的圖象如下：根據(jù)圖象可知f(2 016)f(2 017)0正確，函數(shù)f(x)在定義域上不是周期函數(shù)，所以不正確，根據(jù)圖象確實只有一個交點，所以正確，根據(jù)圖象，函數(shù)f(x)的值域是(1,1)，正確答案思維升華正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識點的匯總考查，主要覆蓋考點功能兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進行分析，后者需要獨立利用知識逐項進行判斷利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問題跟蹤演練5給出以下命題：雙曲線x21的漸近線方程為yx；命題p：“xR，sin x2”是真命題；已知線性回歸方程為32x，當變量x增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；設隨機變量服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(>1)0.2，則P(1<<0)0.6；已知2，2，2，2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為2(n4)則正確命題的序號為_(寫出所有正確命題的序號)答案解析由x20可以解得雙曲線的漸近線方程為yx，正確命題不能保證sin x，為正，故錯誤；根據(jù)線性回歸方程的含義正確；P(>1)0.2，可得P(<1)0.2，所以P(1<<0)P(1<<1)0.3，故錯誤；根據(jù)驗證可知得到一般性的等式是正確的