高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題練習(xí) 理

第2講數(shù)列的求和問題1(2016課標(biāo)全國甲)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項和解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因為bn所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.2(2016山東)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意知，當(dāng)n2時，anSnSn16n5，當(dāng)n1時，a1S111，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想.熱點一分組轉(zhuǎn)化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)當(dāng)a13時，不合題意；當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；當(dāng)a110時，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因為bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn思維升華在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式跟蹤演練1(2015湖南)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)證明：an23an；(2)求Sn.(1)證明由條件，對任意nN*，有an23SnSn13，因而對任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.兩式相減，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故對一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是數(shù)列a2n1是首項a11，公比為3等比數(shù)列；數(shù)列a2n是首項a22，公比為3的等比數(shù)列因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).從而S2n1S2na2n23n1(53n21)綜上所述，熱點二錯位相減法求和錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)3Sn3Sn15anan1(n2)，2anan1，又a12，an是首項為2，公比為的等比數(shù)列，an2()n1()n222n.(2)bn(2n1)22n，Tn121320521(2n1)22n，Tn120321(2n3)22n(2n1)21n，Tn22(202122n)(2n1)21n2(2n1)21n6(2n3)21n，Tn12(2n3)22n.思維升華(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列；(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進(jìn)行驗證跟蹤演練2已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：4Sn(an1)(an3)(nN*)(1)求an；(2)若bn2nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)4Sn(an1)(an3)a2an3，當(dāng)n2時，4Sn1a2an13，兩式相減得，4anaa2an2an1，化簡得，(anan1)(anan12)0，an是正項數(shù)列，anan10，anan120，對任意n2，nN*都有anan12，又由4S1a2a13得，a2a130，解得a13或a11(舍去)，an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，an32(n1)2n1.(2)由已知及(1)知，bn(2n1)2n，Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，得，Tn3212(2223242n)(2n1)2n162(2n1)2n12(2n1)2n1.熱點三裂項相消法求和裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a223a72，且，S3成等比數(shù)列，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若對于任意的nN*，都有8Tn<225成立，求實數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由即解得或當(dāng)a1，d時， 沒有意義，a12，d2，此時an22(n1)2n.(2)bn，Tnb1b2b3bn，8Tn32<3.為滿足題意，必須使2253，或3.思維升華(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而達(dá)到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件(2)常用的裂項公式()；()；()跟蹤演練3(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a22，S515，若的前m項和為，則m的值為()A8 B9 C10 D11(2)已知數(shù)列an的通項公式為anlog2 (nN*)，設(shè)其前n項和為Sn，則使Sn<5成立的正整數(shù)n有()A最小值63 B最大值63C最小值31 D最大值31答案(1)B(2)A解析(1)設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則有a1d1，ann，.11，m9.(2)anlog2 (nN*)，Sna1a2anlog2log2log2(log22log23)(log23log24)log2(n1)log2(n2)log22log2(n2)log2，由Sn<5log2<n>62，故使Sn<5成立的正整數(shù)n有最小值63.1已知數(shù)列an的通項公式為an，其前n項和為Sn，若存在MZ，滿足對任意的nN*，都有Sn<M恒成立，則M的最小值為_押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點考查的內(nèi)容，也是考試大綱中明確提出的知識點，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設(shè)的條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題的常用方法有規(guī)律可循答案1解析因為an，所以Sn()()1，由于1<1，所以M的最小值為1.2已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sna(Snan1)(a為常數(shù)，且a>0)，且4a3是a1與2a2的等差中項(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點和熱點，本題先利用an，Sn的關(guān)系求an，也是高考出題的常見形式解(1)當(dāng)n1時，S1a(S1a11)，所以a1a，當(dāng)n2時，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，由，得anaan1，即a，故an是首項a1a，公比為a的等比數(shù)列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1與2a2的等差中項，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因為a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，解得a或a(舍去)，故an()n.(2)由(1)，得bn(2n1)2n，所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，由，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.A組專題通關(guān)1已知數(shù)列1，3，5，7，則其前n項和Sn為()An21 Bn22Cn21 Dn22答案A解析因為an2n1，所以Snn21.2已知在數(shù)列an中，a160，an1an3，則|a1|a2|a3|a30|等于()A445 B765C1 080 D3 105答案B解析an1an3，an1an3.an是以60為首項，3為公差的等差數(shù)列an603(n1)3n63.令an0，得n21.前20項都為負(fù)值|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)a21a302S20S30.Snnn，|a1|a2|a3|a30|765.3已知Sn為數(shù)列an的前n項和，若an(4cos n)n(2cos n)，則S20等于()A31 B122 C324 D484答案B解析由題意得，因為an(4cos n)n(2cos n)，所以a11，a2，a33，a4，a55，a6，所以數(shù)列an的奇數(shù)項構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以S20(a1a3a19)(a2a4a20)122，故選B.4設(shè)數(shù)列an滿足：a12，an11，記數(shù)列an的前n項之積為Tn，則T2 016的值為()A B1C. D1答案D解析由a12，an11，得a21，a311，a412，由上可知，數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，又a1a2a32(1)1，且2 0163672.T2 016(1)6721.故選D.51 的值為()A18 B20C22 D18答案B解析設(shè)an121()n，原式a1a2a1121()121()221()11211()211211(1)2(111)20.6設(shè)f(x)，若Sf()f()f()，則S_.答案1 007解析f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sf()f()f()，Sf()f()f()，得，2Sf()f()f()f()f()f()2 014，S1 007.7在數(shù)列an中，a11，an2(1)nan1，記Sn是數(shù)列an的前n項和，則S60_.答案480解析方法一依題意得，當(dāng)n是奇數(shù)時，an2an1，即數(shù)列an中的奇數(shù)項依次形成首項為1、公差為1的等差數(shù)列，a1a3a5a593011465；當(dāng)n是偶數(shù)時，an2an1，即數(shù)列an中的相鄰的兩個偶數(shù)項之和均等于1，a2a4a6a8a58a60(a2a4)(a6a8)(a58a60)15.因此，該數(shù)列的前60項和S6046515480.方法二an2(1)nan1，a3a11，a5a31，a7a51，且a4a21，a6a41，a8a61，a2n1為等差數(shù)列，且a2n11(n1)1n，即a11，a32，a53，a74，S4a1a2a3a41124，S8S4a5a6a7a83418，S12S8a9a10a11a1256112，S604154480.8定義為n個正數(shù)p1，p2，pn的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為，又bn，則_.答案解析由定義可知a1a2an5n2，a1a2anan15(n1)2，可求得an110n5，所以an10n5，則bn2n1，又()，所以()().9(2015福建)在等差數(shù)列an中，a24，a4a715.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)求b1b2b3b10的值解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.10已知在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項和Sn滿足San(Sn)(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明Tn<.(1)解當(dāng)n2時，anSnSn1代入San(Sn)，得2SnSn1SnSn10，由于Sn0，所以2，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，從而1(n1)22n1，所以Sn.(2)證明因為bn()，所以Tn(1)()()(1)<，所以Tn<.B組能力提高11數(shù)列an滿足a12，an，其前n項積為Tn，則T2 016等于()A. BC1 D1答案C解析由an，得an1.a12，a23，a3，a4，a52，a63.故數(shù)列an具有周期性，周期為4，a1a2a3a41，T2 016T41.12已知數(shù)列an滿足an1，且a1，則該數(shù)列的前2 016項的和等于()A1 509 B3 018C1 512 D2 016答案C解析因為a1，an1，所以a21，從而a3，a41，即得an故數(shù)列的前2 016項的和等于S2 0161 008(1)1 512.13設(shè)向量a(1,2)，b(，an) (nN*)，若ab，設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn的最小值為_答案1解析因為向量a(1,2)，b(，an) (nN*)，ab，所以1an20，即an2()，從而數(shù)列an的前n項和為Sn2()2(1)，顯然當(dāng)n1時，Sn取得最小值，為1.14已知an是一個公差d大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a545，a2a614.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：ann2，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)a3a5a2a614，a3a545，a35，a59或a39，a55，d>0，a35，a59，a11，d2，an2n1.(2)由ann2，得2n1n2，2(n1)1(n1)2 (n2)，兩式相減得2n1，bn2n(2n1)(n2)，又a11，b14，bn記Tnb2b3bn，則Tn2252372n(2n1)，2Tn2352472n1(2n1)，兩式相減得Tn42n1(12n)，則Tn2n1(2n1)4，Sn2n1(2n1)