高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問題 文

第26練　完美破解立體幾何的證明問題 [題型分析高考展望]　立體幾何證明題是高考必考題，證明平行、垂直關(guān)系是主要題型，特別是垂直關(guān)系尤為重要．掌握判定定理、性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用是解題的根本．學(xué)會分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關(guān)鍵，在二輪復(fù)習(xí)中，通過專題訓(xùn)練，使解立體幾何證明的能力更上一層樓，確保該類題型不失分． 體驗(yàn)高考 1．(2015福建)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　m垂直于平面α，當(dāng)l?α?xí)r，也滿足l⊥m，但直線l與平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l(wèi)⊥m，必要性成立．故選B. 2．(2016山東)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A. 3．(2016課標(biāo)全國甲)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′ABCFE的體積． (1)證明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. (2)解　由EF∥AC得＝＝. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4， 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3， 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′， 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝. 五邊形ABCFE的面積S＝68－3＝. 所以五棱錐D′ABCFE的體積V＝2＝. 4．(2016四川)如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90，BC＝CD＝AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由； (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. (1)解　取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下： 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD， 所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CM∥AB. 又AB?平面PAB，CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) (2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD. 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，M為AD的中點(diǎn)，連接BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD， 所以平面PAB⊥平面PBD. 5．(2016課標(biāo)全國丙)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求四面體NBCM的體積． (1)證明　由已知得AM＝AD＝2. 如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN， 由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)解　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)， 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為， 故S△BCM＝4＝2. 所以四面體NBCM的體積 VNBCM＝S△BCM＝. 高考必會題型 題型一　空間中的平行問題 例1　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證： (1)直線EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 證明　(1)如圖，連接SB， ∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)， ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1， EG?平面BDD1B1， ∴直線EG∥平面BDD1B1. (2)連接SD， ∵F、G分別是DC、SC的中點(diǎn)， ∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知， EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG， FG?平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 點(diǎn)評　證明平行關(guān)系的方法 (1)證明線線平行的常用方法： ①利用平行公理，即證明兩直線同時(shí)和第三條直線平行； ②利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換； ③利用三角形中位線定理證明； ④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明． (2)證明線面平行的常用方法： ①利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行； ②利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行． (3)證明面面平行的方法： 證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行． 變式訓(xùn)練1　(2015天津改編)如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)． 求證：(1)EF∥平面A1B1BA； (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 證明　(1)如圖，連接A1B，在△A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn)， 所以EF∥BA1.又因?yàn)镋F?平面A1B1BA，BA1?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA. (2)因?yàn)锳B＝AC，E為BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，從而BB1⊥AE.又因?yàn)锽C∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因?yàn)锳E?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1. 題型二　空間中的垂直問題 例2　如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)． 求證：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明　(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG. ∵F為CD的中點(diǎn)， ∴GF∥DE且GF＝DE. ∵AB⊥平面ACD， DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形， ∴AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD， ∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 點(diǎn)評　(1)證明線面垂直的常用方法： ①利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直； ②利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直； ③利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面． (2)證明面面垂直的方法： 證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線來解決． 變式訓(xùn)練2　(2016北京)如圖，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說明理由． (1)證明　∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD， ∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴DC⊥平面PAC. (2)證明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC， ∴AB⊥平面PAC，又∵AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF. 證明如下： 取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又∵E為AB的中點(diǎn)， ∴EF為△PAB的中位線， ∴EF∥PA.又PA?平面CEF， EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF. 題型三　空間中的平行、垂直綜合問題 例3　(2015山東)如圖，三棱臺DEFABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)． (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH. 證明　(1)方法一　如圖，連接DG，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH. 在三棱臺DEF－ABC中， AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四邊形DFCG為平行四邊形． 則M為CD的中點(diǎn)， 又H為BC的中點(diǎn)， 所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH. 方法二　在三棱臺DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點(diǎn)， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四邊形HBEF為平行四邊形， 可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點(diǎn)， H為BC的中點(diǎn)，所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B， 所以平面FGH∥平面ABED. 又因?yàn)锽D?平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)連接HE， 因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)， 所以GH∥AB. 由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H為BC的中點(diǎn)， 所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC. 又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H， 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD， 所以平面BCD⊥平面EGH. 點(diǎn)評　(1)立體幾何中，要證線垂直于線，常常先證線垂直于面，再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線．要證線平行于面，只需先證線平行于線，再用線平行于面的判定定理易得． (2)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識，因此需要多畫出一些圖形輔助使用． (3)平行關(guān)系往往用到三角形的中位線，垂直關(guān)系往往用到三角形的高線、中線． 變式訓(xùn)練3　(2015北京)如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)． (1)求證：VB∥平面MOC； (2)求證：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱錐V－ABC的體積． (1)證明　因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥VB， 又因?yàn)閂B?平面MOC，所以VB∥平面MOC. (2)證明　因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)C⊥AB. 又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC?平面ABC， 所以O(shè)C⊥平面VAB.又OC?平面MOC， 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)解　在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝， 所以AB＝2，OC＝1， 所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝. 又因?yàn)镺C⊥平面VAB. 所以VC－VAB＝OCS△VAB＝， 又因?yàn)槿忮FV－ABC的體積與三棱錐C－VAB的體積相等， 所以三棱錐V－ABC的體積為. 高考題型精練 1．(2016浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案　C 解析　由已知，α∩β＝l，∴l(xiāng)?β， 又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確．故選C. 2．(2015安徽)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 答案　D 解析　對于A，α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定，故A錯(cuò)；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯(cuò)；對于C，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯(cuò)；對于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項(xiàng)，故D正確． 3．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)條件： ①存在一條直線a，a⊥α，a⊥β；②存在一個(gè)平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是(　　) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 答案　C 解析　對于②，平面α與β還可以相交； 對于③，當(dāng)a∥b時(shí)，不一定能推出α∥β， 所以②③是錯(cuò)誤的，易知①④正確，故選C. 4．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AC∩EF＝G.現(xiàn)在沿AE，EF，F(xiàn)A把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，則在四面體P－AEF中必有(　　) A．AP⊥△PEF所在平面 B．AG⊥△PEF所在平面 C．EP⊥△AEF所在平面 D．PG⊥△AEF所在平面 答案　A 解析　在折疊過程中，AB⊥BE，AD⊥DF保持不變． ∴?AP⊥平面PEF. 5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論： ①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面．其中不正確的結(jié)論是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案　B 解析　作出過M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論②不正確． 6．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　B 解析?、僦幸字狽P∥AA′，MN∥A′B， ∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP (如圖)． ④中，NP∥AB， 能得出AB∥平面MNP. 7．(教材改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________． 答案　平行 解析　連接BD，設(shè)BD∩AC＝O， 連接EO，在△BDD1中，O為BD的中點(diǎn)， 所以EO為△BDD1的中位線， 則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 8．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中： ①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)． 答案　①④ 解析　由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE， 又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A， 得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB， ∴AE⊥PB，①正確； ∵平面PAD⊥平面ABC， ∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)； 由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD， 又AD?平面PAD，BC?平面PAD， ∴BC∥平面PAD， ∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)； 在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB， ∴∠PDA＝45，④正確． 9．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為________． 答案　異面垂直 解析　∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C， 又∵平面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BO， ∴B1C⊥平面ABO，∵AB?平面ABO，∴B1C⊥AB. 10．如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC，答案不唯一) 解析　∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD， 又AC∩PA＝A， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)， 即有PC⊥平面MBD， 而PC?平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 11．(2015江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 證明　(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)， 又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC. 又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC， 所以AC⊥CC1. 又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1， BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 12．(2016山東)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB. (1)已知AB＝BC，AE＝EC，求證：AC⊥FB； (2)已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC. 證明　(1)因?yàn)镋F∥DB， 所以EF與DB確定平面BDEF， 如圖①，連接DE.因?yàn)锳E＝EC， D為AC的中點(diǎn)， 所以DE⊥AC.同理可得 BD⊥AC. 又BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDEF. 因?yàn)镕B?平面BDEF， 所以AC⊥FB. (2)如圖②，設(shè)FC的中點(diǎn)為I， 連接GI，HI. 在△CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GI∥EF. 又EF∥DB， 所以GI∥DB. 在△CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I， 所以平面GHI∥平面ABC， 因?yàn)镚H?平面GHI， 所以GH∥平面ABC.