高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問題 文

第26練完美破解立體幾何的證明問題題型分析高考展望立體幾何證明題是高考必考題，證明平行、垂直關(guān)系是主要題型，特別是垂直關(guān)系尤為重要掌握判定定理、性質(zhì)定理并能靈活運用是解題的根本學(xué)會分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關(guān)鍵，在二輪復(fù)習(xí)中，通過專題訓(xùn)練，使解立體幾何證明的能力更上一層樓，確保該類題型不失分體驗高考1(2015福建)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析m垂直于平面，當(dāng)l時，也滿足lm，但直線l與平面不平行，充分性不成立，反之，l，一定有l(wèi)m，必要性成立故選B.2(2016山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.3(2016課標(biāo)全國甲)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H，將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐DABCFE的體積(1)證明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以O(shè)H1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐DABCFE的體積V2.4(2016四川)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：因為ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB.所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明由已知，PAAB，PACD.因為ADBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因為ADBC，BCAD，M為AD的中點，連接BM，所以BCMD，且BCMD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.5(2016課標(biāo)全國丙)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積(1)證明由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因為PA平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42.所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.高考必會題型題型一空間中的平行問題例1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.證明(1)如圖，連接SB，E、G分別是BC、SC的中點，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直線EG平面BDD1B1.(2)連接SD，F(xiàn)、G分別是DC、SC的中點，F(xiàn)GSD.又SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.點評證明平行關(guān)系的方法(1)證明線線平行的常用方法：利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；利用平行四邊形進行轉(zhuǎn)換；利用三角形中位線定理證明；利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明(2)證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行；利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行(3)證明面面平行的方法：證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行變式訓(xùn)練1(2015天津改編)如圖，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，點E和F分別為BC和A1C的中點求證：(1)EF平面A1B1BA；(2)平面AEA1平面BCB1.證明(1)如圖，連接A1B，在A1BC中，因為E和F分別是BC和A1C的中點，所以EFBA1.又因為EF平面A1B1BA，BA1平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因為ABAC，E為BC中點，所以AEBC，因為AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，從而BB1AE.又因為BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因為AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.題型二空間中的垂直問題例2如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.證明(1)如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.F為CD的中點，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.點評(1)證明線面垂直的常用方法：利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直；利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面(2)證明面面垂直的方法：證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線來解決變式訓(xùn)練2(2016北京)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA平面CEF？說明理由(1)證明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)證明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點F，使得PA平面CEF.證明如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又E為AB的中點，EF為PAB的中位線，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.題型三空間中的平行、垂直綜合問題例3(2015山東)如圖，三棱臺DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH. 證明(1)方法一如圖，連接DG，設(shè)CDGFM，連接MH.在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形則M為CD的中點，又H為BC的中點，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二在三棱臺DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點，可得BHEF，BHEF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，可得BEHF.在ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GHAB.又GHHFH，ABBEB，所以平面FGH平面ABED.又因為BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)連接HE，因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.點評(1)立體幾何中，要證線垂直于線，常常先證線垂直于面，再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線要證線平行于面，只需先證線平行于線，再用線平行于面的判定定理易得(2)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)知識，因此需要多畫出一些圖形輔助使用(3)平行關(guān)系往往用到三角形的中位線，垂直關(guān)系往往用到三角形的高線、中線變式訓(xùn)練3(2015北京)如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積(1)證明因為O，M分別為AB，VA的中點，所以O(shè)MVB，又因為VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)證明因為ACBC，O為AB的中點，所以O(shè)CAB.又因為平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以O(shè)C平面VAB.又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以等邊三角形VAB的面積SVAB.又因為OC平面VAB.所以VCVABOCSVAB，又因為三棱錐VABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為.高考題型精練1(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則()AmlBmnCnlDmn答案C解析由已知，l，l，又n，nl，C正確故選C.2(2015安徽)已知m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A若，垂直于同一平面，則與平行B若m，n平行于同一平面，則m與n平行C若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面答案D解析對于A，垂直于同一平面，關(guān)系不確定，故A錯；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C，不平行，但內(nèi)能找出平行于的直線，如中平行于，交線的直線平行于，故C錯；對于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則mn，其逆否命題即為D選項，故D正確3已知，是兩個不同的平面，給出下列四個條件：存在一條直線a，a，a；存在一個平面，；存在兩條平行直線a，b，a，b，a，b；存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b，可以推出的是()ABCD答案C解析對于，平面與還可以相交；對于，當(dāng)ab時，不一定能推出，所以是錯誤的，易知正確，故選C.4如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，ACEFG.現(xiàn)在沿AE，EF，F(xiàn)A把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，則在四面體PAEF中必有()AAPPEF所在平面BAGPEF所在平面CEPAEF所在平面DPGAEF所在平面答案A解析在折疊過程中，ABBE，ADDF保持不變AP平面PEF.5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面其中不正確的結(jié)論是()A B C D答案B解析作出過M，N，P，Q四點的截面交C1D1于點S，交AB于點R，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確6下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是()ABCD答案B解析中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(如圖)中，NPAB，能得出AB平面MNP.7(教材改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_答案平行解析連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點，所以EO為BDD1的中位線，則BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.8如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45.其中正確的有_(把所有正確的序號都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正確；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，錯；由正六邊形的性質(zhì)得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直線BC平面PAE也不成立，錯；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正確9如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為_答案異面垂直解析AO平面BB1C1C，AOB1C，又平面BB1C1C為菱形，B1CBO，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB.10如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC，答案不唯一)解析四邊形ABCD是菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，BD平面PAC，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.11(2015江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DEAC.又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC，所以ACCC1.又因為ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因為BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因為BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1.12(2016山東)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC，求證：ACFB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點，求證：GH平面ABC.證明(1)因為EFDB，所以EF與DB確定平面BDEF，如圖，連接DE.因為AEEC，D為AC的中點，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因為FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如圖，設(shè)FC的中點為I，連接GI，HI.在CEF中，因為G是CE的中點，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因為H是FB的中點，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因為GH平面GHI，所以GH平面ABC.