高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角變換與解三角形練習(xí) 理

第2講三角變換與解三角形1(2016課標(biāo)全國丙)若tan ，則cos22sin 2等于()A. B. C1 D.答案A解析tan ，則cos22sin 2.2(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，則AC等于()A1 B2 C3 D4答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化簡(jiǎn)得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故選A.3(2016上海)方程3sin x1cos 2x在區(qū)間0,2上的解為_答案，解析3sin x22sin2x，即2sin2x3sin x20，(2sin x1)(sin x2)0，sin x，x，.4(2016江蘇)在銳角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是_答案8解析在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C全為銳角，兩邊同時(shí)除以cos Bcos C得：tan Btan C2tan Btan C.又tan Atan(BC).tan A(tan Btan C1)tan Btan C.則tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2，2，tan Atan Btan C8.正弦定理和余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算；2.三角形形狀的判斷；3.面積的計(jì)算；4.有關(guān)的范圍問題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問題結(jié)合起來進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視.熱點(diǎn)一三角恒等變換1三角求值“三大類型”“給角求值”、“給值求值”、“給值求角”2三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45等；(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)已知為銳角，若cos，則cos_.(2)已知sin ，sin()，均為銳角，則角等于()A. B.C. D.答案(1)(2)C解析(1)因?yàn)闉殇J角，cos()>0，所以為銳角，sin()，則sin(2)2sin()cos()2.又cos(2)sin(2)，所以cos(2).(2)因?yàn)?，均為銳角，所以<<.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin()().所以.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解跟蹤演練1(1)已知sin，cos 2，則sin 等于()A. B C D.(2)等于()A4 B2C2 D4答案(1)D(2)D解析(1)由sin，得sin cos cos sin ，即sin cos ，又cos 2，所以cos2sin2，即(cos sin )(cos sin )，因此cos sin .由得sin ，故選D.(2)4，故選D.熱點(diǎn)二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2015課標(biāo)全國)如圖，在ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因?yàn)镾ABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因?yàn)镾ABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.思維升華關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口跟蹤演練2(1)(2016課標(biāo)全國丙)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A等于()A. B. C D(2)(2015北京)在ABC中，a3，b，A，則B_.答案(1)C(2)解析(1)設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則由題意得SABCaaacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22aaa2，ba.cos A.故選C.(2)由正弦定理得sin B，因?yàn)锳為鈍角，所以B.熱點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三角形的形狀例3(2015山東)設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值解(1)由題意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由題意知A為銳角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，且當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsin A.所以ABC面積的最大值為.思維升華解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對(duì)最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若f()2且a2bc，試判斷ABC的形狀解(1)f(x)cos2x2sin xcos xsin2xsin 2xcos 2x2sin(2x)，所以T，f(x)2,2(2)因?yàn)閒()2sin(A)2，所以sin(A)1.因?yàn)?<A<，所以A，所以A.由a2b2c22bccos A及a2bc，得(bc)20，所以bc，所以BC.所以ABC為等邊三角形.1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，則ABC的面積為_押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點(diǎn)答案解析先把條件中角B的函數(shù)轉(zhuǎn)化為角A與C的函數(shù)，求出sin C，然后用正弦定理求c，再利用Sacsin B求面積因?yàn)?<A<，cos A，所以sin A.又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，結(jié)合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面積Sacsin B.2已知函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x(>0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時(shí)f(A)的值域押題依據(jù)三角函數(shù)和解三角形的交匯點(diǎn)命題是近幾年高考命題的趨勢(shì)，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等知識(shí)，對(duì)學(xué)生能力要求較高解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin(2x)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為T，所以.(2)由(1)知f(x)sin(3x)，易得f(A)sin(3A).因?yàn)閟in B，sin A，sin C成等比數(shù)列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào))，因?yàn)?<A<，所以0<A，所以<3A，所以<sin(3A)1，所以1<sin(3A)，所以函數(shù)f(A)的值域?yàn)?1，A組專題通關(guān)1已知為銳角，cos ，tan()，則tan 的值為()A. B3C. D.答案B解析由為銳角，cos ，得sin ，tan ，tan()，tan tan()3.2tan 70tan 50tan 70tan 50的值等于()A. B.C D答案D解析因?yàn)閠an 120，即tan 70tan 50tan 70tan 50.3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2ccos A，c2bcos A，則ABC的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形答案C解析由已知可得，b2ccos A，cos2A，易知cos A>0，cos A.又0<A<180，A60，由b2c得a2c20，ac.因此，ABC為等邊三角形，故選C.4已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a2bcos A，B，c1，則ABC的面積等于()A. B.C. D.答案C解析a2bcos A，由正弦定理可得sin A2sin Bcos A.B，sin Acos Atan A.又A為三角形的內(nèi)角，A，又B，CAB，ABC為等邊三角形，SABCacsin B11，故選C.5若sin 2，sin()，且，則的值是()A. B.C.或 D.或答案A解析sin 2，cos 2且，又sin()，cos()，sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，故選A.6已知tan 4，則的值為_答案解析.7(2015天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為3，bc2，cos A，則a的值為_答案8解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.8如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_ m.答案150解析根據(jù)圖示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)9在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，bc，且sin2Csin2Bsin Bcos Bsin Ccos C.(1)求角A的大小；(2)若a，sin C，求ABC的面積解(1)由題意得sin 2Bsin 2C，整理得sin 2Bcos 2Bsin 2Ccos 2C，即sin(2B)sin，由bc，得BC，又BC(0，)，得2B2C，即BC，所以A.(2)因?yàn)閍，sin C，由正弦定理，得c.由c<a，得C<A，從而cos C，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.所以ABC的面積為Sacsin B()10已知函數(shù)f(x)sincoscos2.(1)若f(x)1，求cos(x)的值；(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足acos Ccb，求f(B)的取值范圍解(1)f(x)sincos cos2sincossin().由f(x)1，可得sin().令，則x2，cos(x)cos(2)cos 22sin21.(2)由acos Ccb，得acb，即b2c2a2bc，所以cos A.因?yàn)锳(0，)，所以A，BC，所以0B，所以，所以f(B)sin()(1，)所以f(B)的取值范圍是(1，)B組能力提高11若(0，)，則的最大值為_答案解析(0，)，且tan >0，(當(dāng)且僅當(dāng)tan 2時(shí)等號(hào)成立)，故的最大值為.12(2015湖北)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.答案100解析在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得，即，所以BC300.在RtBCD中，CBD30，CDBCtanCBD300tan 30100.13已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_答案解析，a2，又(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，可化為(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取得)，SABCbcsin A4.14(2015四川)如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角(1)證明：tan ；(2)若AC180，AB6，BC3，CD4，AD5，求tan tan tan tan 的值(1)證明tan .(2)解由AC180，得C180A，D180B，由(1)，有tan tan tan tan .連接BD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcos A，在BCD中，有BD2BC2CD22BCCDcos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A，則cos A，于是sin A .連接AC，同理可得cos B，于是sin B .所以tan tan tan tan .