高考數(shù)學大二輪專題復習 第二編 專題整合突破 專題四 數(shù)列 第一講 等差與等比數(shù)列適考素能特訓 理

專題四 數(shù)列 第一講 等差與等比數(shù)列適考素能特訓 理 一、選擇題 1．[2015重慶高考]在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．6 答案　B 解析　設數(shù)列{an}的公差為d，由a4＝a2＋2d，a2＝4，a4＝2，得2＝4＋2d，d＝－1，∴a6＝a4＋2d＝0.故選B. 2．[2016山西四校聯(lián)考]等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若公比q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝(　　) A．31 B．36 C．42 D．48 答案　A 解析　由等比數(shù)列的性質，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且公比q>1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故選A. 3．[2016唐山統(tǒng)考]設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝(　　) A．2 B. C. D．1或2 答案　B 解析　設S2＝k，S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴＝＝，故選B. 4．[2015浙江高考]已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) A．a1d>0，dS4 >0 B．a1d<0，dS4<0 C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 答案　B 解析　由a＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，整理得d(5d＋3a1)＝0，又d≠0，∴a1＝－d，則a1d＝－d2<0，又∵S4＝4a1＋6d＝－d，∴dS4＝－d2<0，故選B. 5．正項等比數(shù)列{an}滿足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，m，n∈N*，則＋的最小值為(　　) A．2 B．16 C. D. 答案　C 解析　設數(shù)列{an}的公比為q，a3＝a2＋2a1?q2＝q＋2?q＝－1(舍)或q＝2，∴an＝a12n－1，aman＝16a?a2m＋n－2＝16a?m＋n＝6，∵m，n∈N*，∴(m，n)可取的數(shù)值組合為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，計算可得，當m＝2，n＝4時，＋取最小值. 6．[2016吉林長春質量監(jiān)測]設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}為等差數(shù)列，則an＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設bn＝nSn＋(n＋2)an，則b1＝4，b2＝8，{bn}為等差數(shù)列，所以bn＝4n，即nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋an＝4. 當n≥2時，Sn－Sn－1＋an－an－1＝0，所以an＝an－1，即2＝，又因為＝1，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以＝n－1(n∈N*)，an＝(n∈N*)，故選A. 二、填空題 7．[2015廣東高考]在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. 答案　10 解析　利用等差數(shù)列的性質可得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，從而a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，故a5＝5，所以a2＋a8＝2a5＝10. 8．[2016遼寧質檢]設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，則S4＝________. 答案　66 解析　依題an＝2Sn－1＋3(n≥2)，與原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可見，數(shù)列{an}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，a2＝5，所以S4＝1＋＝66. 9．[2016云南統(tǒng)考]在數(shù)列{an}中，an>0，a1＝，如果an＋1是1與的等比中項，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________． 答案　 解析　由題意可得，a＝?(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0，又an>0，∴2an＋1－anan＋1－1＝0，又2－an≠0，∴an＋1＝?an＋1－1＝，又可知an≠1，∴＝－1，∴是以為首項，－1為公差的等差數(shù)列，∴＝－(n－1)＝－n－1?an＝?＝＝－，∴a1＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝. 三、解答題 10．[2016蚌埠質檢]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a3＝3，S3＝9. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1. 解　(1)設該等比數(shù)列的公比為q，則根據(jù)題意有3＝9，從而2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. 當q＝1時，an＝3； 當q＝－時，an＝3n－3. (2)證明：若an＝3，則bn＝0，與題意不符， 故an＝3n－3， 此時a2n＋3＝32n，∴bn＝2n，符合題意． ∴cn＝＝＝－， 從而c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－<1. 11．成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3，b4，b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． 解　(1)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a－d，a，a＋d. 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15， 解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d,10,18＋d. 依題意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去)． 故{bn}的第3項為5，公比為2， 由b3＝b122，即5＝b122， 解得b1＝. 所以{bn}是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，其通項公式為bn＝2n－1＝52n－3. (2)證明：數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝52n－2－，即Sn＋＝52n－2. 所以S1＋＝，＝＝2. 因此是以為首項，2為公比的等比數(shù)列． 12．[2016西安質檢]等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝1，前n項和為Sn；數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)求＋＋…＋. 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，d>0，{bn}的公比為q， 則an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依題意有 解得或(舍去) 故an＝n，bn＝2n－1. (2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)， ＝＝2， ∴＋＋…＋ ＝2 ＝2＝.