中考數學一輪專題復習 菱形
菱形
一 選擇題:
1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是( )
A.對邊相等 B.對角相等 C.對角線互相平分 D.對角線互相垂直
2.如圖為菱形ABCD與△ABE的重疊情形,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,則DE的長度為何?( )
A.8 B.9 C.11 D.12
3.如圖,在□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點O作EF⊥AC交BC于點E,交AD于點F,連接AE,CF.則四邊形AECF是( )
A.梯形 B.長方形 C.菱形 D.正方形
4.如圖,四邊形ABCD的四邊相等,且面積為120cm2,對角線AC=24cm,則四邊形ABCD的周長為( ?。?
A.52cm B.40cm C.39cm D.26cm
5.如圖,將一個長為10cm,寬為8cm的矩形紙片對折兩次后,沿所得矩形兩鄰邊中點的連線(虛線)剪下,再打開,得到的菱形的面積為( ?。?
A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2
6.如圖,菱形ABCD的周長為24cm,對角線AC、BD相交于O點,E是AD的中點,連接OE,則線段OE的長等于( )
A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm
7.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若AB=2,∠ABC=60,則BD的長為( ?。?
A.2 B.3 C. D.2
8.如圖所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E ,F 為垂足,AE=ED,則∠EBF 等于( )
A.75 B.60 C.50 D.45
9.如圖,四邊形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,則DH等于( )
A. B. C.5 D.4
10.如圖,菱形OABC的頂點O是原點,頂點B在y軸上,菱形的兩條對角線的長分別是6和4,反比例函數y=(x<0)的圖象經過點C,則k的值為( ?。?
A.﹣12 B.﹣6 C.6 D.12
11.如圖,在菱形ABCD中,AB的垂直平分線EF交對角線AC于點F,垂足為點E,連接DF,且∠CDF=24,則∠DAB等于( )
A.100= B.104 C.105 D.110
12.某校的校園內有一個由兩個相同的正六邊形(邊長為2.5m)圍成的花壇,如圖中的陰影部分所示,校方先要將這個花壇在原有的基礎上擴建成一個菱形區(qū)域如圖所示,并在新擴充的部分種上草坪,則擴建后菱形區(qū)域的周長為( ?。?
A.20m B.25m C.30m D.35m
13.如圖,菱形ABCD中,∠B=60,AB=2cm,E、F分別是BC、CD的中點,連接AE、EF、AF,則△AEF的周長為( ?。?
A.2cm B.3cm C.4cm D.3cm
14.如圖,菱形ABCD的對角線相交于坐標原點,點A的坐標為(a,2),點B的坐標為(﹣1,﹣),點C的坐標為(2,c),那么a,c的值分別是( ?。?
A.a=﹣1,c=﹣ B.a=﹣2,c=﹣2 C.a=1,c= D.a=2,c=2
15.如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AC=8,BD=6,過點O作OH⊥AB,垂足為H,則點O到邊AB的距離OH等于( ?。?
A.2 B.1.8 C.3 D.
16.如圖,以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB=( )
A.30 B.45 C.22.5 D.135
17.如圖,已知四邊形OABC是菱形,CD⊥x軸,垂足為D,函數的圖象經過點C,且與AB交于點E.若OD=2,則△OCE的面積為( )
A.2 B.4 C.;D.;
18.已知:如圖在直角坐標系中,有菱形OABC,A點的坐標為(10,0),對角線OB、AC相交于D點,雙曲線y=(x>0)經過D點,交BC的延長線于E點,且OB?AC=160,則點E的坐標為( )
A.(5,8) B.(5,10) C.(4,8) D.(3,10)
19.如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.點E在邊AB上,點F在邊CD上,點G、H在對角線AC上.若四邊形EGFH是菱形,則AE的長是( )
A.2 B.3 C.5 D.6
20.如圖,在菱形ABCD中,∠A=60,E、F分別是AB,AD的中點,DE、BF相交于點G,連接BD,CG.有下列結論:①∠BGD=120;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④S△ABD=AB2其中正確的結論有( ?。?
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二 填空題:
21.如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,請你添加一個適當的條件 使其成為菱形(只填一個即可).
22.如圖,在菱形ABCD中,AB=4,線段AD的垂直平分線交AC于點N,△CND的周長是10,則AC的長為 ?。?
23.如圖,已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm,AE⊥BC于點E,則AE的長是 ?。?
24.如圖,在RtΔABC中,∠ACB=90,AC=4,BC=3,D為斜邊AB上一點,以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB,當AD= 時,平行四邊形CDEB為菱形。
25.在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,點P是AC上的一個動點,過點P作EF垂直于AC交AD于點E,交AB于點F,將△AEF沿EF折疊,使點A落在點A處,當△ACD是直角三角形時,AP的長為 .
26、如圖,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60,E,F(xiàn)分別是BC,DC上的點,∠EAF=60,連接EF,則△AEF的面積最小值是 .
27.如圖,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60,把菱形ABCD繞點A順時針旋轉30得到菱形AB′C′D′,其中點C的運動路徑為,則圖中陰影部分的面積為 .
28.如圖,在菱形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(8,2),點D的坐標為(0,2),則點C坐標為 .
29.如圖,將兩張長為9,寬為3的矩形紙條交叉,使重疊部分是一個菱形,容易知道當兩張紙條垂直時,菱形的面積有最小值9,那么菱形面積的最大值是 .
30.如圖,在菱形ABCD中,邊長為1,∠A=60,順次連結菱形ABCD各邊中點,可得四邊形A1B1C1D1;順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點,可得四邊形A2B2C2D2;順次連結四邊形A2B2C2D2各邊中點,可得四邊形A3B3C3D3;按此規(guī)律繼續(xù)下去…,則四邊形A2016B2016C2016D2016的面積是 .
三 簡答題:
31.如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點C,BD平分∠ABF,且交AE于點D,AC與BD相交于點O,連接CD.
(1)求∠AOD的度數;
(2)求證:四邊形ABCD是菱形.
32.如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=3,在BC邊上取一點E,使BE=4,連結AE,沿AE剪下△ABE,將它平移至△DCF的位置,拼成四邊形AEFD.
(1)求證:四邊形AEFD是菱形;
(2)求四邊形AEFD的兩條對角線的長.
33.如圖,在△ABC中,∠ACB=90,D,E分別為AC,AB的中點,BF∥CE交DE的延長線于點F.
(1)求證:四邊形ECBF是平行四邊形;
(2)當∠A=30時,求證:四邊形ECBF是菱形.
34.如圖,在矩形ABCD中,對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M,與BC相交于點N,連接BM,DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的長.
35.如圖,在矩形ABCD中,點E為CD上一點,將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處,將線段EF繞點F旋轉,使點E落在BE上的點G處,連接CG.
(1)證明:四邊形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四邊形CEFG的面積;
(3)試探究當線段AB與BC滿足什么數量關系時,BG=CG,請寫出你的探究過程.
36.如圖,在四邊形ABCD中,AB=DC,E、F分別是AD、BC的中點,G、H分別是對角線BD、AC的中點.
(1)求證:四邊形EGFH是菱形;
(2)若AB=1,則當∠ABC+∠DCB=90時,求四邊形EGFH的面積.
37.如圖,已知?ABCD的對角線AC、BD交于O,且∠1=∠2.
(1)求證:?ABCD是菱形;
(2)F為AD上一點,連結BF交AC于E,且AE=AF,求證:AO=(AF+AB).
38.如圖,△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC.設MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的長;
(3)當點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.
39.如圖,△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC,設MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)探究:線段OE與OF的數量關系并加以證明;
(2)當點O在邊AC上運動時,四邊形BCFE會是菱形嗎?若是,請證明;若不是,則說明理由;
(3)當點O運動到何處,且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?
40.如圖,菱形ABCD中,∠A=60,連接BD,∠PBQ=60,將∠PBQ繞點B任意旋轉,交邊AD,CD分別于點E、F(不與菱形的頂點重合),設菱形ABCD的邊長為a(a為常數)
(1)△ABD和△CBD都是 三角形;
(2)判斷△BEF的形狀,并說明理由;
(3)在運動過程中,四邊形BEDF的面積是否變化,若不變,求出其面積的值(用a表示);若變化,請說明理由.
(4)若a=3,設△DEF的周長為m,直接寫出m的取值范圍.
參考答案
1、D.2、D 3、C 4、A.5、A.6、A.7、D.8、B 9、A.10、B.11、B 12、C.13、B.14、B.
15、D.16、C.17、C;18、C 19、C. 20、C.
21、 AC⊥BD或∠AOB=90或AB=BC 22、6?。?3、 cm?。?4、 25、2或26、 3?。?
27、 28、 (4,4)?。? 29、 15?。? 30、 ?。?
31、【解答】解:(1)∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,
∵AE∥BF,∴∠DAB+∠CBA,=180,
∴∠BAC+∠ABD=(∠DAB+∠ABC)=180=90,∴∠AOD=90;
(2)證明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,
∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,
∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,∴AB=BC,AB=AD∴AD=BC,
∵AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AD=AB,∴四邊形ABCD是菱形.
32、(1)證明:∵△ABE平移至△DCF的位置.∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF
∵四邊形ABCD為矩形.∴AD∥BC,AD=BC,∠B=90.∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD.
∴四邊形AEFD為平行四邊形.在Rt△ABE中,根據勾股定理得:AE=--
∵AD=5, ∴AD=AE.∴四邊形AEFD為菱形.
(2)連結DE、AF. 求出DE=. 求出AF=
33、【解答】證明:(1)∵D,E分別為邊AC,AB的中點,∴DE∥BC,即EF∥BC.
又∵BF∥CE,∴四邊形ECBF是平行四邊形.
(2)∵∠ACB=90,∠A=30,E為AB的中點,∴CB=AB,CE=AB.∴CB=CE.
又由(1)知,四邊形ECBF是平行四邊形,∴四邊形ECBF是菱形.
34、【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90,∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,
∵在△DMO和△BNO中,,∴△DMO≌△BNO(AAS),∴OM=ON,
∵OB=OD,∴四邊形BMDN是平行四邊形,∵MN⊥BD,∴平行四邊形BMDN是菱形.
(2)解:∵四邊形BMDN是菱形,∴MB=MD,設MD長為x,則MB=DM=x,
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2即x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,所以MD長為5.
35、(1)證明:根據翻折的方法可得EF=EC,∠FEG=∠CEG.
又∵GE=GE,∴△EFG≌△ECG.∴FG=GC.
∵線段FG是由EF繞F旋轉得到的,∴EF=FG.∴EF=EC=FG=GC.∴四邊形FGCE是菱形.
(2)連接FC交GE于O點.根據折疊可得BF=BC=10.
∵AB=8,∴在Rt△ABF中,根據勾股定理得AF==6.∴FD=AD-AF=10-6=4.
設EC=x,則DE=8-x,EF=x,在Rt△FDE中,F(xiàn)D2+DE2=EF2,即42+(8-x)2=x2.
解得x=5.即CE=5.S菱形CEFG=CEFD=54=20.
(3)當=時,BG=CG,理由:由折疊可得BF=BC,∠FBE=∠CBE,
∵在Rt△ABF中,=,∴BF=2AF.∴∠ABF=30.
又∵∠ABC=90,∴∠FBE=∠CBE=30,EC=BE.∵∠BCE=90,∴∠BEC=60.
又∵GC=CE,∴△GCE為等邊三角形.∴GE=CG=CE=BE.∴G為BE的中點.∴CG=BG=BE.
36、(1)證明:∵四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點,
∴FG=CD,HE=CD,F(xiàn)H=AB,GE=AB.
∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四邊形EGFH是菱形.
(2)解:∵四邊形ABCD中,G、F、H分別是BD、BC、AC的中點,∴GF∥DC,HF∥AB.
∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC.∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90.
∴∠GFH=90.∴菱形EGFH是正方形.
∵AB=1,∴EG=AB=.∴正方形EGFH的面積=()2=.
37、解答:解:(1)證明:∵?ABCD中,AD∥BC,∴∠2=∠ACB,
又∵∠1=∠2,∴∠1=∠ACB∴AB=BC,∴?ABCD是菱形;
(2)∵?ABCD中,AD∥BC,∴∠AFE=∠EBC,
又∵AF=AE,∴∠AFE=∠AEF=∠BEC,∴∠EBC=∠BEC,∴BC=CE,
∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA,∴OA=(AF+BC),又∵AB=BC,∴OA=(AF+AB).
38、(1)證明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.
同理:OC=OE.∴OE=OF.
(2)由(1)知:OF=OC,OC=OE,∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180,∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90.
∴EF=13.∴OC=EF=.
(3)連接AE、AF.當點O移動到AC中點時,四邊形AECF為矩形.理由如下:由(1)知OE=OF,
當點O移動到AC中點時,有OA=OC,∴四邊形AECF為平行四邊形.
又∵∠ECF=90,∴四邊形AECF為矩形.
39、【解答】解:(1)OE=OF.證明如下:
∵CE是∠ACB的平分線,∴∠1=∠2.∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC.同理可證OC=OF.
∴OE=OF.四邊形BCFE不可能是菱形,若四邊形BCFE為菱形,則BF⊥EC,
而由(1)可知FC⊥EC,在平面內過同一點F不可能有兩條直線同垂直于一條直線.當點O運動到AC中點時,且△ABC是直角三角形(∠ACB=90)時,四邊形AECF是正方形.
理由如下:∵O為AC中點,∴OA=OC,∵由(1)知OE=OF,∴四邊形AECF為平行四邊形;
∵∠1=∠2,∠4=∠5,∠1+∠2+∠4+∠5=180,∴∠2+∠5=90,即∠ECF=90,∴?AECF為矩形,
又∵AC⊥EF.∴?AECF是正方形.
∴當點O為AC中點且△ABC是以∠ACB為直角三角形時,四邊形AECF是正方形.
40、【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB=BC=CD,∠C=∠A=60
∴△ABD和△CBD都是等邊三角形;故答案為:等邊;
(2)△BEF是等邊三角形,理由:由(1)知,△ABD和△CBD都是等邊三角形,
∴∠EDB=∠DBC=∠C=60,BD=BC
∵∠EBF=60,∴∠EBD=∠CBF,
在△BDE與△BCF中,,∴△BDE≌△BCF,∴BE=BF,∴△BEF是等邊三角形;
(3)不變,理由:∵△ABD是等邊三角形,AB=a,∴AB邊上的高=a,∴S△ABD=a2,
∵△BDE≌△BCF,∴S四邊形BFDE=S△ABD=a2,∴在運動過程中,四邊形BEDF的面積不變化;
(4)∵△BDE≌△BCF,∴DE=CF,∴DF+DE=DF+CF=3,
∵△BEF是等邊三角形,∴BF=EF,∵BF<3,∴△DEF的周長<6,
當BF⊥CD時,BF=,∴△DEF的周長=3+,∴m的取值范圍是3+≤m<6.