（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 考點規(guī)范練16 同角三角函數的基本關系及誘導公式

考點規(guī)范練16　同角三角函數的基本關系及誘導公式 基礎鞏固組 1.sin 600°的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-12 B.-32 C.12 D.32 答案B　 解析sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-32. 2.已知sinπ2+α=-35,α∈π2,π,則tan α=(　　) A.34 B.-34 C.-43 D.43 答案C　 解析∵sinπ2+α=-35,sinπ2+α=cosα, ∴cosα=-35,又α∈π2,π,∴sinα=1-cos2α=45, ∴tanα=sinαcosα=-43.故選C. 3.若cos(3π-x)-3cosx+π2=0,則tan x等于(　　) A.-12 B.-2 C.12 D.13 答案D　 解析∵cos(3π-x)-3cosx+π2=0, ∴-cosx+3sinx=0.∴tanx=13.故選D. 4.1+2sin(π-3)cos(π+3)化簡的結果是(　　) A.sin 3-cos 3 B.cos 3-sin 3 C.±(sin 3-cos 3) D.以上都不對 答案A　 解析∵sin(π-3)=sin3,cos(π+3)=-cos3, ∴原式=1-2sin3·cos3=(sin3-cos3)2=|sin3-cos3|.∵π2<3<π,∴sin3>0,cos3<0. ∴原式=sin3-cos3.故選A. 5.已知tan α=3,則1+2sinαcosαsin2α-cos2α的值是(　　) A.12 B.2 C.-12 D.-2 答案B　 解析原式=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α-cos2α =(sinα+cosα)2(sinα+cosα)(sinα-cosα)=sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=3+13-1=2. 6.sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)+tan(-1 089°)tan(-540°)=　　　　　.  答案0　 解析原式=(-sin1071°)·sin99°+sin171°·sin261°+tan1089°·tan540°=-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(270°-9°)+tan(3×360°+9°)tan(360°+180°)=sin9°cos9°-sin9°cos9°+tan9°tan180°=0. 7.(2018浙江紹興3月模擬)已知sin(30°+α)=35,60°<α<150°,則cos(30°+α)=　　　　　;cos α=　　　　　.  答案-45　3-4310　 解析∵60°<α<150°,∴90°<30°+α<180°.∵sin(30°+α)=35, ∴cos(30°+α)=-1-sin2(30°+α)=-1-(35) 2=-45.cosα=cos(30°+α-30°)=cos(30°+α)cos30°+sin(30°+α)·sin30°=-45×32+35×12=3-4310,故答案為-45,3-4310. 8.已知α∈R,sin2α+4sin αcos α+4cos2α=52,則tan α=　　　　　.  答案3或-13　 解析由sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52可得52=sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α=tan2α+4tanα+4tan2α+1, 解得tanα=3或tanα=-13. 能力提升組 9.已知:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10);④sin7π10cosπtan17π9.其中符號為負的是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 答案C　 解析sin(-1000°)=sin80°>0;cos(-2200°)=cos(-40°)=cos40°>0,tan(-10)=tan(3π-10)<0; sin7π10·cosπtan17π9=-sin7π10tan17π9,sin7π10>0,tan17π9<0.故選C. 10.已知傾斜角為θ的直線與直線x-3y+1=0垂直,則23sin2θ-cos2θ=(　　) A.103 B.-103 C.1013 D.-1013 答案C　 解析直線x-3y+1=0的斜率為13,因此與此直線垂直的直線的斜率k=-3,∴tanθ=-3,∴23sin2θ-cos2θ=2(sin2θ+cos2θ)3sin2θ-cos2θ=2(tan2θ+1)3tan2θ-1,把tanθ=-3代入得,原式=2×[(-3)2+1]3×(-3)2-1=1013.故選C. 11.已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,則cosπ12-α等于(　　) A.223 B.13 C.-13 D.-223 答案D　 解析因為512π+α+π12-α=π2, 所以cosπ12-α=sinπ2-π12-α=sin5π12+α. 因為-π<α<-π2,所以-7π12<α+5π12<-π12. 又cos5π12+α=13>0,所以-π2<α+5π12<-π12, 所以sin5π12+α=-1-cos25π12+α =-1-132=-223. 12.若1sinα+1cosα=3,則sin αcos α=(　　) A.-13 B.13 C.-13或1 D.13或-1 答案A　 解析由1sinα+1cosα=3,可得sinα+cosα=3sinαcosα,兩邊平方,得1+2sinαcosα=3sin2αcos2α,解得sinαcosα=-13或sinαcosα=1.由題意,知-1<sinα<1,-1<cosα<1,且sinα≠0,cosα≠0,所以sinαcosα≠1,故選A. 13.(2018浙江溫州模擬)已知sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,且x,y為銳角,則tan (x-y)的值是(　　) A.2145 B.-2145 C.±2145 D.-1414 答案B　 解析∵sinx-siny=-23,cosx-cosy=23, ∴兩式平方相加得,cos(x-y)=59, 又x,y為銳角,sinx-siny<0,∴x<y, ∴sin(x-y)=-1-cos2(x-y)=-2149, ∴tan(x-y)=sin(x-y)cos(x-y)=-214959=-2145. 14.(2018浙江金華十校)已知sin 2α=2425,0<α<π2,則2cosπ4-α的值為　　　　　.  答案75　 解析∵sin2α=2sinαcosα=2425,0<α<π2, ∴sinα和cosα均為正數, 又(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2425=4925, 所以sinα+cosα=75, ∴2cosπ4-α=222cosα+22sinα=sinα+cosα=75. 15.(2018浙江杭州二中6月熱身)已知α∈R,sin α+2cos α=102,則tan α=　　　　　;tan 2α=　　　　　.  答案3或-13　-34　 解析由sinα+2cosα=102可以得到sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52,即sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α=52, 化簡得tan2α+4tanα+4tan2α+1=52, 整理得3tan2α-8tanα-3=0,解得tanα=3或tanα=-13. 當tanα=3時,tan2α=2×31-32=-34; 當tanα=-13時,tan2α=2×(-13)1-132=-34. 16.當0<x<π4時,函數f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是　　　　　.  答案4　 解析當0<x<π4時,0<tanx<1,f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x=1tanx-tan2x,設t=tanx,則0<t<1,y=1t-t2=1t(1-t)≥4,當且僅當t=1-t,即t=12時等號成立. 17.(2018浙江平湖中學模擬)已知tan θ=-34,求下列各式的值: (1)sin(θ+3π2)+cos(θ-π2)2sin(π+θ)+cos(θ-π);(2)2+sin θcos θ-cos2θ. 解(1)原式=-cosθ+sinθ-2sinθ-cosθ=-1+tanθ-2tanθ-1=-1-3464-1=-72; (2)原式=2+sinθcosθ-cos2θsin2θ+cos2θ=2+tanθ-1tan2θ+1=2+-34-1916+1=2225. 18.已知f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)tan-α+3π2tanπ2+α·sin(-π-α). (1)化簡f(α); (2)若α是第三象限角,且cosα-3π2=15,求f(α)的值. 解(1)f(α)=sinα·cosα·tan-α+3π2-2πtanπ2+α·sinα =sinα·cosα·-tanπ2+αtanπ2+α·sinα=-cosα. (2)∵cosα-3π2=-sinα=15,∴sinα=-15, 又α是第三象限角,∴cosα=-1-sin2α=-265, 故f(α)=265. 6