（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級練（二十五）轉(zhuǎn)化與化歸思想 文

能力升級練(二十五)轉(zhuǎn)化與化歸思想一、選擇題1.若a>2,則關(guān)于x的方程13x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()A.0個(gè)根B.1個(gè)根C.2個(gè)根D.3個(gè)根解析設(shè)f(x)=13x3-ax2+1,則f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),當(dāng)x(0,2)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(0,2)上為減函數(shù).又f(0)f(2)=1×83-4a+1=113-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1個(gè)根.答案B2.如圖所示,已知三棱錐P-ABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,則三棱錐P-ABC的體積為()A.40B.80C.160D.240解析因?yàn)槿忮FP-ABC的三組對邊兩兩相等,則可將此三棱錐放在一個(gè)特定的長方體中(如圖所示).把三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體AEBG-FPDC,易知三棱錐P-ABC的各邊分別是此長方體的面對角線,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,則由已知,可得x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164x=6,y=8,z=10.從而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4×16×6×8×10=160.答案C3.定義運(yùn)算:(ab)x=ax2+bx+2.若關(guān)于x的不等式(ab)x<0的解集為x|1<x<2,則關(guān)于x的不等式(ba)x<0的解集為()A.(1,2)B.(-,1)(2,+)C.-23,1D.-,-23(1,+)解析1,2是方程ax2+bx+2=0的兩實(shí)根,1+2=-ba,1×2=2a,解得a=1,b=-3.所以(-31)x=-3x2+x+2<0,即3x2-x-2>0,解得x<-23或x>1.答案D4.已知OA=(cos 1,2sin 1),OB=(cos 2,2sin 2),若OA'=(cos 1,sin 1),OB'=(cos 2,sin 2),且滿足OA'·OB'=0,則OAB的面積等于()A.12B.1C.2D.4解析由條件OA'·OB'=0,可得cos(1-2)=0.利用特殊值,如設(shè)1=2,2=0,代入,則A(0,2),B(1,0),故OAB的面積為1.答案B5.已知函數(shù)f(x)=4sin24+x-23cos 2x+1且給定條件p:“4x2”,又給定條件q:“|f(x)-m|<2”,且p是q的充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(3,5)B.(-2,2)C.(1,3)D.(5,7)解析f(x)=4sin24+x-23cos2x+1=21-cos2+2x-23cos2x+1=2sin2x-23cos2x+3=4sin2x-3+3.令t=2x-3,當(dāng)4x2時(shí),f(x)=g(t)=4sint+3,6t23,當(dāng)4x2時(shí),f(x)max=7,f(x)min=5.p是q的充分條件,對x4,2,|f(x)-m|<2恒成立,即m-2<f(x)<m+2恒成立m-2<f(x)min,m+2>f(x)max,即m-2<5,m+2>7,解得5<m<7.答案D6.拋物線y=x2上的所有弦都不能被直線y=m(x-3)垂直平分,則常數(shù)m的取值范圍是()A.-12,+B.-3,-12C.-12,+D.(-1,+)解析若拋物線上兩點(diǎn)(x1,x12),(x2,x22)關(guān)于直線y=m(x-3)對稱,則滿足x12+x222=m(x1+x22-3),x12-x22x1-x2=-1m,x12+x22=m(x1+x2-6),x1+x2=-1m,消去x2,得2x12+2mx1+1m2+6m+1=0.x1R,=2m2-81m2+6m+1>0,即(2m+1)(6m2-2m+1)<0.6m2-2m+1>0,m<-12.即當(dāng)m<-12時(shí),拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=m(x-3)對稱,所以如果拋物線y=x2上的所有弦都不能被直線y=m(x-3)垂直平分,那么m-12.答案A二、填空題7.若x,yR,集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)xa-yb=1,a>0,b>0,當(dāng)AB有且只有一個(gè)元素時(shí),a,b滿足的關(guān)系式是. 解析AB有且只有一個(gè)元素可轉(zhuǎn)化為直線xa-yb=1與圓x2+y2=1相切,故圓心到直線的距離為|ab|b2+a2=1.a>0,b>0,ab=a2+b2.答案ab=a2+b28.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an2+an,用x表示不超過x的最大整數(shù),則1a1+1+1a2+1+1a2013+1=. 解析因?yàn)?an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,所以1an+1=1an-1an+1,所以1a1+1+1a2+1+1a2013+1=1a1-1a2+1a2-1a3+1a2013-1a2014=1a1-1a2014,又a1=1,所以1a2014(0,1),所以1a1-1a2014(0,1),故1a1-1a2014=0.答案09.在各棱長都等于1的正四面體OABC中,若點(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),則|OP|的最小值等于. 解析因?yàn)辄c(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),所以點(diǎn)P與A、B、C共面,即點(diǎn)P在平面ABC內(nèi),所以|OP|的最小值等于點(diǎn)O到平面ABC的距離,也就是正四面體的高,為63.答案63三、解答題10.在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC的中點(diǎn),又CAD=30°,PA=AB=4,點(diǎn)N在線段PB上,且PNNB=13.(1)求證:BDPC;(2)求證:MN平面PDC;(3)設(shè)平面PAB平面PCD=l,試問直線l是否與直線CD平行,請說明理由.(1)證明因?yàn)锳BC是正三角形,M是AC的中點(diǎn),所以BMAC,即BDAC.又因?yàn)镻A平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PAAC=A,所以BD平面PAC,又PC平面PAC,所以BDPC.(2)證明在正三角形ABC中,BM=23.在ACD中,因?yàn)镸為AC的中點(diǎn),DMAC,所以AD=CD,CDA=120°,所以DM=233,所以BMMD=31.所以BNNP=BMMD,所以MNPD.又MN平面PDC,PD平面PDC,所以MN平面PDC.(3)解假設(shè)直線lCD.因?yàn)閘平面PAB,CD平面PAB,所以CD平面PAB.又CD平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以CDAB.又知CD與AB不平行,所以假設(shè)不成立,直線l與直線CD不平行.11.已知函數(shù)f(x)=x-1x,g(x)=aln x,其中x>0,aR,令函數(shù)h(x)=f(x)-g(x).(1)若函數(shù)h(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(2)當(dāng)a取(1)中的最大值時(shí),判斷方程h(x)+h(2-x)=0在(0,1)上是否有解,并說明理由.解(1)h(x)=f(x)-g(x),h'(x)=f'(x)-g'(x)=1+1x2-ax=x2-ax+1x2.依題意,知不等式x2-ax+10在區(qū)間(0,+)上恒成立,即ax+1x在區(qū)間(0,+)上恒成立,解得a2,即a的取值范圍為(-,2.(2)當(dāng)a=2時(shí),h(x)=x-1x-2lnx.h(x)+h(2-x)=2-2x(2-x)-2lnx(2-x).令t=x(2-x),x(0,1),則t(0,1).構(gòu)造函數(shù)(t)=2-2t-2lnt.'(t)=2t2-2t=2-2tt2>0恒成立,函數(shù)(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,且(1)=0.(t)=2-2t-2lnt=0在(0,1)上無解.即方程h(x)+h(2-x)=0在(0,1)上無解.8