八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 16 二次根式教案 （新版）新人教版 (3)

第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),()2=a(a0),=a(a0).3.掌握=(a0,b0),=(a0,b0),=(a0,b>0),=(a0,b>0).4.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念,并能靈活運(yùn)用其對(duì)二次根式進(jìn)行加減.1.通過先提出問題,讓學(xué)生探討、分析問題,師生共同歸納得出概念,再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析,得出幾個(gè)重要結(jié)論,并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).2.讓學(xué)生用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律,采用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法法則,并運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算.3.讓學(xué)生利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法法則的逆向等式,并運(yùn)用它們進(jìn)行化簡(jiǎn).4.通過分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果,抓住它們的共同特點(diǎn),給出最簡(jiǎn)二次根式的概念.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念,讓學(xué)生對(duì)被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并,達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的.1.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力,培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.2.經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論和二次根式的乘除法法則,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.二次根式是新課標(biāo)中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容,它是在前面平方根、立方根的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,是對(duì)代數(shù)式及實(shí)數(shù)等內(nèi)容的延伸與補(bǔ)充.同時(shí),也是后繼學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的邊角關(guān)系等內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).因此,本章的相關(guān)知識(shí)對(duì)于整個(gè)初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)有著承前啟后的重要意義.本章內(nèi)容分為三節(jié),第一節(jié)主要學(xué)習(xí)二次根式的概念和性質(zhì);第二節(jié)是二次根式的乘法和除法運(yùn)算,主要研究二次根式的乘除法運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn);第三節(jié)是二次根式的加法和減法運(yùn)算,主要研究二次根式的加減法運(yùn)算法則和二次根式的化簡(jiǎn).【重點(diǎn)】1.對(duì)(a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解和對(duì)()2=a(a0),=a(a0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式乘除法的法則及其運(yùn)用.3.最簡(jiǎn)二次根式的概念.4.二次根式的加減運(yùn)算.【難點(diǎn)】1.對(duì)(a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解和對(duì)等式()2=a(a0),=a(a0)的理解及應(yīng)用.2.二次根式的乘法、除法的條件限制.3.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.1.通過前面的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)知道了平方根、立方根的概念和求法,實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算,對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍,并對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則有了初步的感受.因此,本章應(yīng)充分注意與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系.同時(shí),本章內(nèi)容與整式也有著密切的聯(lián)系.由于數(shù)式通性,當(dāng)將二次根式中的實(shí)數(shù)看成字母時(shí),二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算,所以整式的運(yùn)算法則和公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.因此本章強(qiáng)調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系.2.對(duì)于一些重要結(jié)論,要注意經(jīng)歷觀察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結(jié)論的過程.例如,對(duì)于二次根式的乘法法則,首先利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行具體的計(jì)算,并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系,并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算,再歸納得出二次根式的乘法運(yùn)算法則.這個(gè)過程實(shí)際上就是反映了一個(gè)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程.要通過這樣的探究活動(dòng)來(lái)發(fā)展我們的思維能力,有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.3.熟練掌握二次根式的概念和運(yùn)算需要一定的訓(xùn)練,可以適當(dāng)增加練習(xí),以便較好地理解二次根式的意義,較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).16.1二次根式2課時(shí)16.2二次根式的乘除2課時(shí)16.3二次根式的加減2課時(shí)單元概括整合1課時(shí)16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.2.掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn).3.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念,會(huì)判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識(shí).【重點(diǎn)】會(huì)求二次根式中字母的取值范圍,理解和掌握二次根式的性質(zhì),熟練化簡(jiǎn)二次根式.【難點(diǎn)】運(yùn)用二次根式的雙重非負(fù)性解決問題,二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.第課時(shí)使學(xué)生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍.經(jīng)歷觀察、比較,總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力.經(jīng)歷觀察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識(shí).【重點(diǎn)】了解二次根式的概念,理解二次根式有意義的條件.【難點(diǎn)】會(huì)求二次根式中字母的取值范圍.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)所需的習(xí)題資料.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平方根和立方根的有關(guān)知識(shí).導(dǎo)入一:唐僧師徒在萬(wàn)壽山五莊觀做客.豬八戒來(lái)到后花園,看見人參果樹上結(jié)滿了人參果,嘴饞得直流口水.正準(zhǔn)備伸手摘時(shí),突然一道金光,在同一個(gè)枝頭上一大一小的兩個(gè)果子同時(shí)掉了下來(lái),噗的一聲同時(shí)著地.有愛好數(shù)學(xué)的電視迷算了人參果下落的時(shí)間t與h之間的關(guān)系式為t=,你覺得他算的正確嗎?要解決這個(gè)問題,我們得從二次根式說起.設(shè)計(jì)意圖將數(shù)學(xué)問題融入到學(xué)生喜愛的神話故事中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離,為探究本節(jié)課奠定了基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.教師出示復(fù)習(xí)題:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.學(xué)生口答:(1)4的平方根是2;0的平方根是0;-16沒有平方根.(2)5的平方根是;5的算術(shù)平方根是.2.教師出示教材第2頁(yè)“思考”題:用帶有根號(hào)的式子填空,看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn):(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為.(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄,長(zhǎng)是寬的2倍,面積為130 m2,則它的寬為m.(3)一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下時(shí)離地面的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t為.學(xué)生思考后回答,教師補(bǔ)充得出答案:(1),;(2);(3).設(shè)計(jì)意圖以回顧練習(xí)和思考的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶,鞏固所學(xué)知識(shí),并引入新課.1.二次根式的概念思路一過渡語(yǔ)(針對(duì)導(dǎo)入二)讓我們一起來(lái)看下面的問題:上面得到的式子,分別表示什么意義?它們有什么共同特征?教師引導(dǎo)學(xué)生說出各式的意義,概括它們的共同特征:都表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根.討論:你能用一個(gè)式子表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根嗎?學(xué)生小組討論,全班交流.教師由此給出二次根式的定義:一般地,我們把形如(a0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號(hào).追問:在二次根式的概念中,為什么要強(qiáng)調(diào)“a0”?教師引導(dǎo)學(xué)生舉出例子說明,經(jīng)過討論知道二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在填空過程中初步感知二次根式與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系,體會(huì)研究二次根式的必要性,再讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過程,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力,最后通過討論二次根式中被開方數(shù)a0,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理解.思路二像,這樣的式子有什么共同特點(diǎn)呢?學(xué)生觀察,交流發(fā)現(xiàn):一是從形式上看,都含有二次根號(hào);二是被開方數(shù)的取值范圍有限制:被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).教師進(jìn)一步明確:形如(a0)的式子叫做二次根式.引導(dǎo)學(xué)生說一說對(duì)二次根式的認(rèn)識(shí):(1)表示a的算術(shù)平方根;(2)a可以是數(shù),也可以是代數(shù)式;(3)從形式上看,含有二次根號(hào);(4)a0,0.設(shè)計(jì)意圖加深對(duì)二次根式的理解,進(jìn)一步明確二次根式的非負(fù)性.2.例題講解過渡語(yǔ)二次根式的定義怎樣理解?讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)幾個(gè)例題.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被開方數(shù).,(x3),(y>-1),(xy>0).引導(dǎo)學(xué)生觀察根指數(shù)和被開方數(shù)分析發(fā)現(xiàn):顯然不是二次根式(因?yàn)樗母笖?shù)是4,含有四次根號(hào)),其余式子都含有二次根號(hào),關(guān)鍵看根號(hào)下的被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若根號(hào)下是負(fù)數(shù),則二次根式?jīng)]有意義.解:,(x3),(xy>0)是二次根式.其中被開方數(shù)依次是7,x-3,(x+1)2,.解題策略當(dāng)被開方數(shù)形式是含有字母的代數(shù)式時(shí),可以把這個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)整體.如的被開方數(shù)是x2+2015.當(dāng)被開方數(shù)形式比較復(fù)雜時(shí),可以將這個(gè)被開方數(shù)適當(dāng)化簡(jiǎn).如,因?yàn)?-3)2-7=9-7=2,所以它的被開方數(shù)其實(shí)就是2.【變式訓(xùn)練】下列各式中,一定是二次根式的是()A.B.C.D.(其中a<0)解析的被開方數(shù)-9<0,的被開方數(shù)m-1可能是負(fù)數(shù),的根指數(shù)是3,所以選項(xiàng)A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根號(hào),并且無(wú)論a取什么負(fù)數(shù),被開方數(shù)a2+8都是正數(shù),所以一定是二次根式.故選D.(教材例1)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考:二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),則x-20.解:由x-20,得x2.當(dāng)x2時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.【變式訓(xùn)練】若式子1+有意義,則x的取值范圍是.解析根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知:x+10,即x-1;又因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?,所以x的取值范圍是x-1且x0.故填x-1且x0.易錯(cuò)分析容易產(chǎn)生只考慮到x+10,而忽略了x0的錯(cuò)誤.設(shè)計(jì)意圖通過變式訓(xùn)練,加深學(xué)生對(duì)二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的理解,提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的遷移能力和應(yīng)用意識(shí).知識(shí)拓展(1)二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)果和形式上界定的,必須含有二次根號(hào)“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被開方數(shù)可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式.(3)形如b(a0)的式子也是二次根式,其表示的是b與的乘積,如3表示3,-表示-,但是不能寫成3的形式.(4)當(dāng)a0時(shí),表示a的算術(shù)平方根.也就是說,有意義的條件是a0.(5)當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),(其中a0)本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù).師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:知識(shí)要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項(xiàng)二次根式的概念形如0(a0)的式子叫做二次根式,其中被開方數(shù)是a被開方數(shù)也可以是含有字母的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等二次根式有意義的條件被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)求解二次根式中字母的取值范圍,要注意根號(hào)下的式子整體不小于零1.已知下列各式:,(a2),其中二次根式的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:的被開方數(shù)不是非負(fù)數(shù),所以不是二次根式,其余3個(gè)都是二次根式.故選C.2.(2014南通中考)若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是()A.xB.x-C.x>D.x解析:是二次根式,因此2x-10,在分母上,因此0.則解得x>.故選C.3.當(dāng)x=時(shí),二次根式有最小值,其最小值是.解析:二次根式有意義,x+30,即x+3的最小值是0,x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范圍:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+10,得a-1.字母a的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù).(2)由>0,得1-2a>0,即a<.字母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù).(3)因?yàn)闊o(wú)論a取何值,都有(a-3)20,所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù).(4)因?yàn)闊o(wú)論a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范圍是全體實(shí)數(shù).第1課時(shí)1.二次根式的概念2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第3頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第1題.【選做題】教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第7題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.若是二次根式,則下列結(jié)論正確的是()A.x0,y0B.x>0,y>0C.x,y同號(hào)D.02.已知實(shí)數(shù)x,y,m滿足+=0,且y為負(fù)數(shù),則m的取值范圍是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意義,那么在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.(2015遵義中考)使二次根式有意義的x的取值范圍是.【能力提升】5.當(dāng)x時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.6.(2015攀枝花中考)若y=+2,則xy=.7.已知x,y為實(shí)數(shù),且滿足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知實(shí)數(shù)a滿足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n滿足關(guān)系式+=,試確定m的值.【答案與解析】1.D(解析:依題意得0,即0.故選D.)2.A(解析:根據(jù)題意,結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得=0,=0,所以解得因?yàn)閥是負(fù)數(shù),所以6-m<0.解得m>6.故選A.)3.A(解析:根據(jù)二次根式有意義的條件,易得a>0,b>0.故選A.)4.x(解析:要使二次根式有意義,則需滿足5x-20,x.)5.-且x-1(解析:要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足的被開方數(shù)2x+30和的分母x+10,即由得x-,由得x-1.當(dāng)x-且x-1時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.)6.9(解析:由題意得x-30,3-x0,得x=3,故y=2,xy=9.)7.解:-(y-1)=0,+(1-y)=0.x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-20150,得a2015,故已知式子可化為a-2014+=a.=2014.兩邊平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右邊,根據(jù)二次根式有意義的條件得x-2013+y0且2013-x-y0,得x+y2013且x+y2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以-,得x+2y=2.又x+y=2013,兩式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我們經(jīng)常說過程比結(jié)果更重要.我對(duì)整節(jié)課的設(shè)計(jì)力求符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑的教學(xué)情境,使學(xué)生始終處在好奇、好學(xué)的高亢的學(xué)習(xí)情緒當(dāng)中,同時(shí),整節(jié)課努力做到先有框架,中有深化,后有突破.學(xué)生學(xué)有情趣,學(xué)有所獲,并由衷感到:學(xué)習(xí)是快樂的事,學(xué)會(huì)了更是幸福的事.在教學(xué)中,我適當(dāng)增加了有拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),想使不同的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展和提高,但受到教材中練習(xí)題的局限,就當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí),本身也是一個(gè)非負(fù)數(shù)的練習(xí)沒有落實(shí)到位.根據(jù)教學(xué)時(shí)間多少調(diào)整例題教學(xué),適當(dāng)增加對(duì)二次根式非負(fù)性的例題的講解,注重變式練習(xí),以加深對(duì)二次根式具有雙重非負(fù)性的理解.練習(xí)(教材第3頁(yè))1.解:設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為3a cm,2a cm.由題意,得3a2a=18,a2=3,a=(舍去a=-),3a=3,2a=2.故長(zhǎng)方形的長(zhǎng)取3 cm,寬取2 cm.2.解:(1)當(dāng)a-10,即a1時(shí),有意義.(2)當(dāng)2a+30,即a-時(shí),有意義. (3)當(dāng)-a0,即a0時(shí),有意義.(4)當(dāng)5-a0時(shí),即a5時(shí),有意義.若x,y為實(shí)數(shù),且滿足y=+-3,求x+2y的值.解析根據(jù)二次根式的被開方數(shù)不小于0,求得x,y的值,然后將其代入所求的代數(shù)式并計(jì)算.解:由二次根式有意義的條件得即x2-4=0,所以x=2.當(dāng)x=2時(shí),y=-3.當(dāng)x=2,y=-3時(shí),x+2y=2+2(-3)=-4;當(dāng)x=-2,y=-3時(shí),x+2y=-2+2(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.解題策略根據(jù)已知得出并得到x=2是解決本題的關(guān)鍵.已知(3a-6)2+=0,求ba的值.解析根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì):若兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0,解出a,b的值,再代入原式中計(jì)算.解:因?yàn)?3a-6)2與都是非負(fù)數(shù),且它們的和為0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此時(shí)ba=32=9.解題策略本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù):(1)絕對(duì)值;(2)偶次方;(3)二次根式(算術(shù)平方根).當(dāng)它們的和為0時(shí),必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0.根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類問題.第課時(shí)1.理解()2=a(a0)和=a(a0),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).2.用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義推出()2=a(a0)和探究=a(a0),會(huì)用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.3.了解代數(shù)式的概念.在明確()2=a(a0)和=a(a0)的算理的過程中,感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性.通過運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)的相關(guān)計(jì)算,解決一些實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.【重點(diǎn)】掌握二次根式的性質(zhì),并能將二次根式的性質(zhì)運(yùn)用于化簡(jiǎn).【難點(diǎn)】能運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).【教師準(zhǔn)備】教學(xué)所需的習(xí)題資料.【學(xué)生準(zhǔn)備】自學(xué)教材第34頁(yè)的內(nèi)容.導(dǎo)入一:教師出示問題:先化簡(jiǎn)再求值:當(dāng)a=9時(shí),求a+值,甲、乙兩人的解答如下:甲的解答為:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答為:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.兩種解答中,誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的呢?本節(jié)課,我們一起來(lái)學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì),然后就可以解決上面的問題了.設(shè)計(jì)意圖以問題設(shè)疑,發(fā)揮問題導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生的求知欲,為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二:1.什么叫二次根式?2.當(dāng)a0時(shí),叫什么?當(dāng)a<0時(shí),有意義嗎?學(xué)生口答,老師點(diǎn)評(píng).通過前面的學(xué)習(xí),我們知道了二次根式具有雙重非負(fù)性.今天我們主要學(xué)習(xí)一些二次根式的其他性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新知,讓本節(jié)課自然過渡,為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).思路一1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a0)過渡語(yǔ)我們先來(lái)探究性質(zhì)1:()2=a(a0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?()2,()2,()2.學(xué)生口述,教師根據(jù)情況評(píng)價(jià).()2表示4的算術(shù)平方根的平方;()2表示2的算術(shù)平方根的平方;表示的算術(shù)平方根的平方;()2表示0的算術(shù)平方根的平方.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).()2=;()2=;=;()2=.學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個(gè)式子的含義.是4的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù),因此有()2=4.是2的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于2的非負(fù)數(shù),因此有()2=2.是的算術(shù)平方根,根據(jù)算術(shù)平方根的意義,是一個(gè)平方等于的非負(fù)數(shù),因此有=.表示0的算術(shù)平方根,因此有()2=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎?引導(dǎo)學(xué)生歸納得出二次根式的性質(zhì):一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()2=a(a0).(教材例2)計(jì)算:(1)()2;(2)(2)2.學(xué)生獨(dú)立完成,兩名學(xué)生板演,再集體訂正.解析(1)直接運(yùn)用()2=a(a0)化簡(jiǎn)即可.(2)運(yùn)用冪的性質(zhì)(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22()2=45=20.解題策略把底數(shù)看成根號(hào)外因數(shù)與二次根式的積,按照積的乘方計(jì)算即可.【變式訓(xùn)練】計(jì)算:(-2)2.解析把原式的底數(shù)看成是-2與的積,先利用(mn)2=m2n2,再根據(jù)()2=a(a0)化簡(jiǎn).解:(-2)2=(-2)2()2=43=12.知識(shí)拓展形如(x)2的關(guān)于二次根式的運(yùn)算可結(jié)合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)1,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過例題和變式訓(xùn)練及時(shí)鞏固二次根式的性質(zhì)1,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.2.二次根式的性質(zhì)2:=a(a0)過渡語(yǔ)我們?cè)賮?lái)探究一下性質(zhì)2:=a(a0).提問:你能解釋下列式子的含義嗎?,.教師引導(dǎo)學(xué)生說出每一個(gè)式子的含義.表示2的平方的算術(shù)平方根;表示0.1的平方的算術(shù)平方根;表示的平方的算術(shù)平方根;表示0的平方的算術(shù)平方根.追問:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空,并說出得到結(jié)論的依據(jù).=;=;=;=.學(xué)生獨(dú)立完成填空后,讓學(xué)生展示其思維過程,說出得到結(jié)論的依據(jù).4=22,=2,因此=2;0.01=0.12,=0.1,因此=0.1;=,=,因此=;0=02,=0,因此=0.討論:從以上的結(jié)論中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?你能用一個(gè)式子表示這個(gè)規(guī)律嗎?引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù).即=a(a0).(教材例3)化簡(jiǎn):(1);(2).引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)=a(a0)進(jìn)行分析:(1)因?yàn)?6=42,所以=,再計(jì)算即可得出結(jié)果.(2)因?yàn)?-5)2=52,所以=.學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正.解:(1)=4.(2)=5.知識(shí)拓展(1)中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù),即不論a取何值,一定有意義.(2)化簡(jiǎn)時(shí),一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù),若是正數(shù)或0,則等于a本身,即=a(a0);若a是負(fù)數(shù),則等于a的相反數(shù)-a,即=-a(a<0).小組討論:()2和有什么關(guān)系?學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個(gè)方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程,概括出二次根式的性質(zhì)2,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力,并通過例題練習(xí)及時(shí)鞏固二次根式的性質(zhì)2.思路二請(qǐng)同學(xué)們閱讀和自學(xué)課本第34頁(yè)的內(nèi)容,并思考下面的問題:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想當(dāng)a0時(shí),()2=.2.(1)觀察下列各式的特點(diǎn),找出各式的共同規(guī)律,并用表達(dá)式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.=;=;=;=;.通過觀察,你得到的結(jié)論是什么?試著說一說.(2)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a0時(shí),=,當(dāng)a<0時(shí),=.學(xué)生用充足的時(shí)間學(xué)習(xí)后,交流學(xué)習(xí)情況,教師分析并講解.1.(1)根據(jù)算術(shù)平方根與乘方運(yùn)算的關(guān)系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以=.根據(jù)以上規(guī)律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)從第(1)問可以發(fā)現(xiàn),一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù),即()2=a(a0).2.先計(jì)算=2;=2;=3;=3;.可以看出:一個(gè)正數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù),一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù).于是當(dāng)a0時(shí),=a,當(dāng)a<0時(shí),=-a.歸納并板書:二次根式的性質(zhì):1.()2=a(a0);2.=a(a0).提問:()2和有什么關(guān)系?學(xué)生自由討論,教師根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從式子的意義和結(jié)果兩個(gè)方面去分析,得出:()2表示a的算術(shù)平方根的平方,()2=a(a0);表示a的平方的算術(shù)平方根,=|a|=設(shè)計(jì)意圖在計(jì)算的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、歸納得出二次根式的兩個(gè)性質(zhì),并從式子的意義和結(jié)果進(jìn)行比較,得出二者之間的關(guān)系.3.代數(shù)式提問:回顧我們學(xué)過的式子,如a+b,-ab,-x3,(a0),這些式子有哪些共同特征?學(xué)生概括式子的共同特征,得出代數(shù)式的概念.這些式子都是用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式.學(xué)生舉出一些例子,并書寫,教師針對(duì)學(xué)生書寫出現(xiàn)問題的地方進(jìn)行指導(dǎo).設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過觀察式子的共同特征,形成代數(shù)式的概念,培養(yǎng)學(xué)生的概括能力.4.例題講解(補(bǔ)充)計(jì)算:(-5)2,-.解析利用()2=a(a0)和=a(a0)化簡(jiǎn),注意被開方數(shù)的符號(hào).解:(-5)2=(-5)2()2=252=50.=.-=-=-.(補(bǔ)充)比較2與3的大小.解析直接比較這兩個(gè)二次根式的大小不太容易,由于這兩個(gè)二次根式平方后得到兩個(gè)有理數(shù),因此可以通過比較這兩個(gè)二次根式平方的大小來(lái)比較它們的大小.解:(2)2=22()2=44,(3)2=32()2=45,又44<45,且2>0,3>0,2<3.師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:知識(shí)要點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)注意事項(xiàng)()2=a(a0)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方,其結(jié)果仍然是它本身被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)=|a|=任何實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根是它的絕對(duì)值底數(shù)a可以是任何實(shí)數(shù)代數(shù)式用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫代數(shù)式式子中不能出現(xiàn)“=,<,>”;單個(gè)的數(shù)字或單個(gè)的字母也是代數(shù)式1.計(jì)算的結(jié)果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:=3.故選B.2.下列各式:m2-3;(a>0);a-1=6;3x-5>0;66.其中代數(shù)式的個(gè)數(shù)是()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)解析:a-1=6是方程,不是代數(shù)式;3x-5>0是一元一次不等式,也不是代數(shù)式;其余都是代數(shù)式.故選C.3.+的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)當(dāng)x時(shí),=2-x成立;(2)計(jì)算=.解析:(1)當(dāng)x-20時(shí),=2-x,所以x2;(2)因?yàn)?<,所以3-<0,因此=-3.答案:(1)2(2)-35.計(jì)算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22()2=12.(3)=(-2)2=2.(4)(-)2=(-1)2()2=15.第2課時(shí)1.二次根式的性質(zhì)1:()2=a(a0)例12.二次根式的性質(zhì)2:=a(a0)例23.代數(shù)式4.例題講解例3例4一、教材作業(yè)【必做題】教材第4頁(yè)練習(xí)第1,2題;教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第2,3,4,5,6題.【選做題】教材第5頁(yè)習(xí)題16.1第7,8,9,10題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.已知二次根式的值為3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,則()A.a<B.aC.a>D.a3.(2015杭州中考)若k<<k+1(k是整數(shù)),則k等于()A.6B.7C.8D.94.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡(jiǎn)-|a+b|的結(jié)果為()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一個(gè)正整數(shù),則正整數(shù)m的最小值是.6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代數(shù)式:(1)面積為3的圓的半徑;(2)面積為S且兩條鄰邊之比為35的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬.8.計(jì)算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化簡(jiǎn),再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.對(duì)于題目“化簡(jiǎn)并求值:+,其中a=”,甲、乙兩人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的?為什么?【答案與解析】1.D(解析:根據(jù)題意得x2=9,解得x=3.故選D.)2.B(解析:由已知得2a-10,解得a.故選B.)3.D(解析:本題主要考查了算術(shù)平方根的化簡(jiǎn)及算術(shù)平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)4.C(解析:觀察圖可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再結(jié)合二次根式、絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.原式=-a-(a+b)=-a+a+b=b.故選C.)5.5(解析:這類題保證被開方數(shù)是最小的完全平方數(shù)即可得出結(jié)論.20=225,所以正整數(shù)m的最小值為5.)6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:關(guān)鍵是逆用()2=a(a0)將3變成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1).(2)寬:3;長(zhǎng):5.8.解:(1)=.(2)(3)2=32()2=18.(3)=(-2)2=.(4)-=-=-3.(5)=.9.解:原式=-=-.x=6,x+1>0,x-8<0.原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化簡(jiǎn)二次根式時(shí),當(dāng)根號(hào)內(nèi)的因式移到根號(hào)外面時(shí),一定要注意原來(lái)根號(hào)里面的符號(hào),這也是化簡(jiǎn)時(shí)最容易出錯(cuò)的地方.解:乙的解答是錯(cuò)誤的.因?yàn)楫?dāng)a=時(shí),=5,a-<0,所以a-,而應(yīng)是=-a.本節(jié)課通過“觀察歸納運(yùn)用”的模式,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成與掌握變得簡(jiǎn)單起來(lái),將一個(gè)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)落實(shí)到位,適當(dāng)增加了拓展性的練習(xí),層層遞進(jìn),使不同的學(xué)生得到了不同的發(fā)展和提高.在探究二次根式的性質(zhì)時(shí),通過“提問追問討論”的形式展開,保證了活動(dòng)有一定的針對(duì)性,但是學(xué)生發(fā)揮主體作用不夠.在探究完成二次根式的性質(zhì)1后,總結(jié)學(xué)習(xí)方法,再放手讓學(xué)生自主探究二次根式的性質(zhì)2.既可以提高學(xué)習(xí)效率,又可以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力.練習(xí)(教材第4頁(yè))1.解:(1)()2=3.(2)(3)2=32()2=92=18.2.解:(1)=0.3.(2)=.(3)-=-.(4)=10-1=.習(xí)題16.1(教材第5頁(yè))1.解:(1)欲使有意義,則必有a+20,a-2,當(dāng)a-2時(shí),有意義.(2)欲使有意義,則必有3-a0,a3,當(dāng)a3時(shí),有意義.(3)欲使有意義,則必有5a0,a0,當(dāng)a0時(shí),有意義.(4)欲使有意義,則必有2a+10,a-,當(dāng)a-時(shí),有意義.2.解:(1)()2=5.(2)(-)2=()2=0.2.(3)=.(4)(5)2=52()2=255=125.(5)=10.(6)=72=49=14.(7)=.(8)-=-=-.3.解:(1)設(shè)圓的半徑為R,由圓的面積公式得S=R2,所以R2=,所以R= .因?yàn)閳A的半徑不能是負(fù)數(shù),所以R=-不符合題意,舍去,故R=,即面積為S的圓的半徑為 .(2)設(shè)較短的邊長(zhǎng)為2x,則它的鄰邊長(zhǎng)為3x.由長(zhǎng)方形的面積公式得2x3x=S,所以x=,因?yàn)閤=-不符合題意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即這個(gè)長(zhǎng)方形的相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為和.4.解:(1)32.(2)()2.(3)()2.(4)0.52.(5).(6)02.5.解:由題意可知r2=22+32,r2=13,r=.r=-不符合題意,舍去,r=,即r的值是.6.解:設(shè)AB=x,則AB邊上的高為4x,由題意,得x4x=12,則x2=6,x=.x=-不符合題意,舍去,x=.故AB的長(zhǎng)為.7.解:(1)x2+1>0恒成立,無(wú)論x取任何實(shí)數(shù),都有意義.(2)(x-1)20恒成立,無(wú)論x取任何實(shí)數(shù),都有意義.(3)即x>0,當(dāng)x>0時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(4)即x>-1,當(dāng)x>-1時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.8.解:設(shè)h=kt2, 則由題意,得20=k22,解得k=5,h=5t2,t=(負(fù)值已舍去).當(dāng)h=10時(shí),t=,當(dāng)h=25時(shí),t=.故當(dāng)h=10和h=25時(shí),小球落地所用的時(shí)間分別為 s和 s.9.解:(1)由題意知18-n0且為整數(shù),則n18,n為自然數(shù)且為整數(shù),符合條件的n的所有可能的值為2,9,14,17,18.(2)24n0且是整數(shù),n為正整數(shù),符合條件的n的最小值是6.10.解:V=r210,r=(負(fù)值已舍去),當(dāng)V=5時(shí), r=,當(dāng)V=10時(shí),r=1,當(dāng)V=20時(shí),r=.如圖所示,根據(jù)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置,化簡(jiǎn):+.解析根據(jù)數(shù)軸可得出a+b與a-b的正負(fù)情況,從而可將二次根式化簡(jiǎn).解:由數(shù)軸可得:a+b<0,a-b>0,+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.解題策略結(jié)合數(shù)軸得出字母的取值范圍,再化簡(jiǎn)二次根式,此題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.已知a,b,c為三角形的三條邊,則+=.解析根據(jù)三角形三邊的關(guān)系,先判斷a+b-c與b-a-c的符號(hào),再去根號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)并化簡(jiǎn).因?yàn)閍,b,c為三角形的三條邊,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+-(b-a-c)=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.解題策略此類化簡(jiǎn)問題要特別注意符號(hào)問題.化簡(jiǎn):.解析題中并沒有明確字母x的取值范圍,需要分x3和x<3兩種情況考慮.解:當(dāng)x3時(shí),=|x-3|=x-3;當(dāng)x<3時(shí),=|x-3|=-(x-3)=3-x.解題策略化簡(jiǎn)時(shí),先將它化成|a|,再根據(jù)絕對(duì)值的意義分情況進(jìn)行討論.16.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的乘法法則,會(huì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.2.能利用二次根式的乘、除法法則和性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式.1.經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想驗(yàn)證”的過程,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)合情推理與演繹推理的相互依賴,相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系.2.培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索和創(chuàng)新,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.【重點(diǎn)】能熟練進(jìn)行二次根式的乘法和除法運(yùn)算.【難點(diǎn)】綜合運(yùn)用有關(guān)法則和性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式.第課時(shí)1.理解=(a0,b0),使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).2.掌握二次根式的乘法法則,會(huì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.1.經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想驗(yàn)證”的過程,使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間是互相聯(lián)系的.2.培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索和創(chuàng)新,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.【重點(diǎn)】會(huì)利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式,會(huì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.【難點(diǎn)】二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)中出示的教學(xué)插圖和例題.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)二次根式的定義和代數(shù)式的定義.導(dǎo)入一:古希臘的幾何家海倫的鄰居家有一塊三角形的菜地,測(cè)得三邊的長(zhǎng)分別為7 m,5 m,8 m,海倫很快就算出了這塊菜地的面積,鄰居想了很久也算不出來(lái),你知道海倫是如何將這塊地的面積計(jì)算出來(lái)的嗎?原來(lái)海倫先算出三角形的周長(zhǎng)的一半為10 m,再根據(jù)計(jì)算三角形的面積公式得=(m2),可是后面這個(gè)式子該如何化簡(jiǎn)呢?這節(jié)課我們一起來(lái)進(jìn)行探討.設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,為本節(jié)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).導(dǎo)入二:我們知道長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬,一個(gè)一組鄰邊長(zhǎng)為2和3的長(zhǎng)方形,你能算出它的面積嗎?其實(shí)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是23,你能算出這個(gè)結(jié)果,求出長(zhǎng)方形的面積嗎?設(shè)計(jì)意圖聯(lián)系生活實(shí)際導(dǎo)入新課,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,喚起學(xué)生探究新知的欲望.1.二次根式的乘法思路一計(jì)算下列各式,觀察計(jì)算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.參考上面的結(jié)果,用“>,<或=”填空.,.老師糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤后,引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)和總結(jié)式子有什么規(guī)律,指出幾名學(xué)生回答,其余學(xué)生補(bǔ)充.老師點(diǎn)評(píng):(1)被開方數(shù)都是正數(shù);(2)兩個(gè)二次根式的乘法等于一個(gè)二次根式,并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘,作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開方數(shù).提問:二次根式的乘法法則是什么?字母表達(dá)式是怎樣的?學(xué)生總結(jié)二次根式的法則:=(a0,b0),即二次根式相乘,把被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察問題,并合作完成問題的習(xí)慣.知識(shí)拓展(1)=成立的條件是a0且b0,千萬(wàn)不能忽略.(2)此法則可以推廣到多個(gè)二次根式的乘法運(yùn)算中,如=(a0,b0,c0).在=(a0,b0)中,a,b既可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的代數(shù)式.(3)當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí),可以類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算,即系數(shù)之積作為系數(shù),被開方數(shù)之積作為被開方數(shù),如mn=mn(a0,b0).思路二出示教材第6頁(yè)“探究”.計(jì)算下列各式,觀察計(jì)算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)=,=;(2)=,;(3)=,=.學(xué)生自己計(jì)算,并力爭(zhēng)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)規(guī)律:=,=,=.教師演算:=5=,=,則=.由上面的特殊例子引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):=(a0,b0),即二次根式相乘,把被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.過渡語(yǔ)你會(huì)應(yīng)用二次根式的乘法法則嗎?嘗試練習(xí)(教材例1):計(jì)算:(1);(2).學(xué)生獨(dú)立做完后,同桌內(nèi)確定答案,并記錄下自己的錯(cuò)誤之處,以便后面交流.設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般,由特殊例子推導(dǎo)得出二次根式乘法的法則,通過嘗試練習(xí)使學(xué)生先學(xué)會(huì)初步掌握如何進(jìn)行二次根式的乘法.2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)思路一過渡語(yǔ)=反過來(lái)也成立嗎?計(jì)算并思考:=,=25=;=,=6=;=,=0.13=.你認(rèn)為=(a0,b0).學(xué)生計(jì)算后比較每一組的結(jié)果,說出自己的發(fā)現(xiàn).教師根據(jù)學(xué)生情況引導(dǎo):根據(jù)算術(shù)平方根的意義,得=10,=25=10,則=;同樣,=,=6=,則有=;=0.3,=0.13=0.3,則有=.由此可以得出兩個(gè)非負(fù)數(shù)積的算術(shù)平方根等于它們算術(shù)平方根的積.進(jìn)一步明確:=(a0,b0).設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生親自動(dòng)手,進(jìn)行探究,得出結(jié)論,激發(fā)學(xué)生求知欲望.思路二過渡語(yǔ)把=反過來(lái),就得到=,利用它就可以將二次根式化簡(jiǎn).嘗試練習(xí):化簡(jiǎn):(1);(2)(m>0).學(xué)生討論,得出:(1)先把被開方數(shù)化為20210,再利用=計(jì)算;(2)先把被開方數(shù)化為(9m)2與n乘積的形式,再利用=計(jì)算.解:(1)原式=20.(2)原式=9m.教師針對(duì)練習(xí)中的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正,引導(dǎo)學(xué)生歸納:兩個(gè)非負(fù)數(shù)積的算術(shù)平方根等于它們算術(shù)平方根的積,即=(a0,b0).設(shè)計(jì)意圖鼓勵(lì)學(xué)生嘗試練習(xí),練后進(jìn)行歸納,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)規(guī)律的能力,提高他們的歸納總結(jié)能力.知識(shí)拓展(1)當(dāng)a<0,b<0時(shí),雖然有意義,但是=,而不等于.(2)積的算術(shù)平方根性質(zhì)可推廣為:當(dāng)a0,b0,c0時(shí),=.(3)公式中a,b既可以是具體的數(shù),也可以是含有字母的代數(shù)式,但必須滿足a0,b0.3.例題講解(教材例1)計(jì)算:(1);(2).引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面嘗試練習(xí)分析:根據(jù)二次根式的乘法法則=(a0,b0)進(jìn)行計(jì)算.解:(1)=.(2)=3.(教材例2)化簡(jiǎn):(1);(2).教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn):被開方數(shù)4a2b3含4,a2,b3這樣的因數(shù)或因式,它們被開方后可以移到根號(hào)外,是開得盡方的因數(shù)或因式.根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)=進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn).解:(1)=49=36.(2)=2a=2ab.(教材例3)計(jì)算:(1);(2)32;(3).解析根據(jù)二次根式的乘法法則=(a0,b0)計(jì)算,其中32中,二次根式前面有系數(shù),可以類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算,即系數(shù)之積作為系數(shù),被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).解:(1)=7.(2)32=32=6=6=65=30.(3)=x.解題策略化簡(jiǎn)二次根式的方法:把被開方數(shù)化為能開得盡方的因數(shù)(或因式)與其他因數(shù)(或因式)積的形式,再開平方即可;被開方數(shù)是小數(shù),要化成分?jǐn)?shù),可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),使得化簡(jiǎn)后被開方數(shù)不含分母;當(dāng)被開方數(shù)是和(或差)的形式時(shí),要把被開方數(shù)寫成一個(gè)數(shù)或分解因式,再化簡(jiǎn).【變式訓(xùn)練】判斷下列各式是否正確,不正確的請(qǐng)予以改正.(1)=;(2)=4=4=4=8.解:(1)不正確.改正:=23=6.(2)不正確.改正:=4.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生把所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用,給前面嘗試練習(xí)錯(cuò)誤的學(xué)生一次強(qiáng)化訓(xùn)練的機(jī)會(huì),力爭(zhēng)人人能過關(guān).師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:1.=(a0,b0),即兩個(gè)二次根式相乘,把被開方數(shù)相乘,根指數(shù)不變.二次根式的乘法法則可以推廣到多個(gè)二次根式進(jìn)行相乘的運(yùn)算,如=(a0,b0,c0).2.=(a0,b0),用語(yǔ)言敘述為:積的算術(shù)平方根,等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.1.若=,則a的取值范圍是()A.-4a4B.a>-4C.a4D.-4<a<4解析:由題意可知:4-a0且4+a0,得a4且a-4,因此-4a4.故選A.2.下列各式成立的是()A.42=8B.54=20C.43=7D.54=20解析:A錯(cuò),正確結(jié)果為40;B錯(cuò),正確結(jié)果為20;C錯(cuò),正確結(jié)果為12;D正確.故選D.3.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是 cm和 cm,則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是.解析:=25(cm2).故填25 cm2.4.已知x>0,y>0,則=.解析:=xy.故填xy.5.化簡(jiǎn):(1);(2)(a0,b0).解:(1)=69=54.(2)=3a=3a=3ab.6.計(jì)算:(1);(2)47;(3)35;(4).解:(1)=6.(2)47=47=28=252.(3)35=35=15.(4)=a.第1課時(shí)1.二次根式的乘法2.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)3.例題講解例1例2例3一、教材作業(yè)【必做題】教材第7頁(yè)練習(xí)第1,2,3題;教材第10頁(yè)習(xí)題16.2第1題.【選做題】教材第11頁(yè)習(xí)題16.2第6題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列各數(shù)中,與的積為有理數(shù)的是()A.B.3C.2D.2.(2015安徽中考)計(jì)算的結(jié)果是()A.B.4C.D.23.已知m=(-2),則有()A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<-4D.-6<m<-54.k,m,n為三個(gè)整數(shù),若=k,=15,=6,則下列有關(guān)k,m,n的大小關(guān)系正確的是()A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n【能力提升】5.張老師在計(jì)算機(jī)上設(shè)計(jì)了一個(gè)長(zhǎng)方形,已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 cm,寬是 cm.他又想設(shè)計(jì)一個(gè)面積與其相等的圓,則圓的半徑是.6.是一個(gè)整數(shù),那么最小正整數(shù)a的值為.7.計(jì)算:(1);(2)0.5(a0);(3)(-).8.一個(gè)底面為30 cm30 cm的長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水,現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面為正方形、高為10 cm的長(zhǎng)方體鐵桶中,當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí),容器中的水面下降了20 cm,求鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米.(容器的尺寸為從里面量得的)9.若y=,且x,y為實(shí)數(shù),求的值.【拓展探究】10.觀察下列各式:=2,=3,=4,.(1)你能發(fā)現(xiàn)上述式子有什么規(guī)律嗎?將猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n(n為正整數(shù))的代數(shù)式表示出來(lái)是;(2)請(qǐng)你運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,寫出第9個(gè)式子;(3)請(qǐng)你驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.【答案與解析】1.C(解析:因?yàn)?,而為無(wú)理數(shù),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)?=3,而3是無(wú)理數(shù),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;因?yàn)?=6,而6是有理數(shù),所以選項(xiàng)C正確;因?yàn)?3,而3為無(wú)理數(shù),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.)2.B(解析:=(a,b都是非負(fù)數(shù)),=4.故選B.)3.A(解析:m=()=2.25<28<36,<<,即5<2<6.故選A.)4.D(解析:化簡(jiǎn)二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5,則m<k<n.故選D.)5. cm(解析:設(shè)圓的半徑為r cm,則r2=,r=.)6.2(解析:因?yàn)?0=522,所以502=5222