（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十二）空間向量的綜合應(yīng)用 理（含解析）蘇教版

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十二） 空間向量的綜合應(yīng)用一保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1.(2019·海安檢測(cè))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD ­A1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由(3)若二面角A­B1E­A1的大小為30°，求AB的長(zhǎng)解：(1)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，.·0110，即B1EAD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此時(shí)(0，1，z0)由(1)知，(a,0,1)，.設(shè)平面B1AE的法向量為n(x，y，z)則即取x1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，即az00，解得z0.又DP平面B1AE，在棱AA1上存在一點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)AP.(3)連結(jié)A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCD ­A1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)(0,1,1)則cosn， .二面角A­B1E­A1的大小為30°，解得a2，即AB的長(zhǎng)為2.2(2018·南京學(xué)情調(diào)研)如圖，在底面為正方形的四棱錐P­ABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是線段PC的中點(diǎn)(1)求異面直線AP與BE所成角的大小；(2)若點(diǎn)F在線段PB上，且使得二面角F­DE­B的正弦值為，求的值解：(1)在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，所以DA，DC，DP兩兩垂直，故以，為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.因?yàn)镻DDC，所以DADCDP，不妨設(shè)DADCDP2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E(0,1,1)，所以(2,0,2)，(2，1,1)，所以cos，從而，.因此異面直線AP與BE所成角的大小為.(2)由(1)可知，(0,0,2)，(0,1,1)，(2,2,0)，(2,2，2)設(shè)，則(2，2，2)，從而(2，2，22)設(shè)m(x1，y1，z1)為平面DEF的法向量，則即取z1，則y1，x121.故m(21，)為平面DEF的一個(gè)法向量，設(shè)n(x2，y2，z2)為平面DEB的法向量，則即取x21，則y21，z21.所以n(1，1,1)為平面BDE的一個(gè)法向量因?yàn)槎娼荈­DE­B的正弦值為，所以二面角F­DE­B的余弦值的絕對(duì)值為，即|cosm，n|，化簡(jiǎn)得421.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段PB上，所以01，所以，即.3(2018·常州期末)如圖，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1底面ABCD，D1AD1D，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.(1)在平面ABCD內(nèi)找一點(diǎn)F，使得D1F平面AB1C；(2)求二面角C­B1A­B的余弦值解：(1)取A1D1的中點(diǎn)E，因?yàn)镈1AD1D，所以D1AA1A，所以AEA1D1.又A1D1AD，所以AEAD.因?yàn)閭?cè)面ADD1A1底面ABCD，側(cè)面ADD1A1底面ABCDAD，AE側(cè)面ADD1A1，所以AE平面ABCD.則以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，1,1)，設(shè)F(a，b,0)，則(a，b1，1)， (1,1,0)，(1，1,1)，因?yàn)镈1F平面AB1C，所以即得ab，所以F，即F為AC的中點(diǎn)所以存在AC的中點(diǎn)F，使D1F平面AB1C.(2)由(1)可取平面B1AC的一個(gè)法向量n1.設(shè)平面B1AB的法向量n2(x，y，z)，因?yàn)?1,0,0)，所以即令y1，得n2(0,1,1)則cosn1，n2.由圖知二面角C­B1A­B為銳角，所以二面角C­B1A­B的余弦值為.4(2019·蘇北四市一模)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90°，ADAP4，ABBC2，M為PC的中點(diǎn)(1)求異面直線AP與BM所成角的余弦值；(2)點(diǎn)N在線段AD上，且AN，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求的值解：(1)因?yàn)镻A平面ABCD，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又因?yàn)锽AD90°，所以PA，AB，AD兩兩垂直以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以M(1,1,2)所以(0,0,4)，(1,1,2)，所以cos，所以異面直線AP與BM所成角的余弦值為.(2)因?yàn)锳N，所以N(0，0)(04)，則(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)設(shè)平面PBC的法向量為m(x，y，z)，則即令x2，得y0，z1，所以m(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量，因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos，m|，解得10,4，所以的值為1.二上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校(2018·無(wú)錫期末)如圖，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD1，D1D2，點(diǎn)P為棱CC1的中點(diǎn)(1)設(shè)二面角A­A1B­P的大小為，求sin 的值；(2)設(shè)M為線段A1B上的一點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1，1,0)，所以(1，1,1)，(1,0，1)，設(shè)平面PA1B的法向量為m(x，y，z)，則即令x1，得m(1,2,1)又平面AA1B的一個(gè)法向量n(1,0,0)，所以cosn，m，則sin .(2)設(shè)M(x，y，z)，因?yàn)镸在A1B上，所以，即(x1，y1，z)(0，1,2)(01)，所以M(1,1，2)，所以(0，1，2)，(1，12)，所以 ，令21t1,1，則，當(dāng)t1,0)時(shí)，當(dāng)t(0,1時(shí)，當(dāng)t0時(shí)，0，所以，則.6