（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十四）解三角形的綜合應(yīng)用 理（含解析）蘇教版

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十四） 解三角形的綜合應(yīng)用一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的_方向上解析：由條件及圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以 DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2(2019·揚(yáng)州調(diào)研)如圖，勘探隊(duì)員朝一座山行進(jìn)，在前后A，B兩處觀察山頂C的仰角分別是30°和45°，兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B之間的距離是100 m，則此山CD的高度為_m.解析：設(shè)山高CD為x，在RtBCD中有：BDCDx，在RtACD中有：AC2x，ADx.而ABADBD(1)x100.解得x50(1)答案：50(1) 3.(2019·南通模擬)2018年12月，為捍衛(wèi)國(guó)家主權(quán)，我國(guó)海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏，其中一艘巡邏艦從海島A出發(fā)，沿南偏東70°的方向航行40海里后到達(dá)海島B，然后再?gòu)暮uB出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行40 海里后到達(dá)海島C.如果巡邏艦直接從海島A出發(fā)到海島C，則航行的路程為_海里解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示在ABC中，ABC70°35°105°，AB40，BC40.根據(jù)余弦定理，得AC2AB2BC22AB·BC·cosABC402(40)22×40×40×400(84)400()2，AC20()故所求航行的路程為20()海里答案：20()4已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40°，A，B兩船的距離為3 km，則B到C的距離為_ km.解析：由條件知，ACB80°40°120°，設(shè)BCx km則由余弦定理知9x244xcos 120°，因?yàn)閤0，所以x1.答案：15.某同學(xué)騎電動(dòng)車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則點(diǎn)B與電視塔的距離是_km.解析：如題圖，由題意知AB24×6，在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°，由正弦定理知，所以BS3(km)答案：36(2018·天一中學(xué)檢測(cè))線段AB外有一點(diǎn)C，ABC60°，AB200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始_h后，兩車的距離最小解析：如圖所示，設(shè)過x h后兩車距離為y，則BD20080x，BE50x，所以y2(20080x)2(50x)22×(20080x)·50x·cos 60°整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5)，所以當(dāng)x時(shí)y2最小答案：二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是_海里解析：如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)答案：102如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為_km/h.解析：設(shè)AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.答案：63(2018·啟東二模)如圖所示，為了測(cè)量A，B兩處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼的距離為_海里解析：由題意可知CD40，ADB60°，ACB60°，BCD90°，ACD30°，ADC105°，CAD45°.在ACD中，由正弦定理，得，AD20，在RtBCD中，BDC45°，BDCD40.在ABD中，由余弦定理，得AB 20.故A，B兩處島嶼的距離為20海里答案：204一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是_m.解析：設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：505(2018·鎮(zhèn)江模擬)在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，則角A的取值范圍為_解析：由題意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20.則cos A0，因?yàn)?A，所以0A.又a為最大邊，所以A.因此角A的取值范圍是.答案：6. (2019·通州中學(xué)高三測(cè)試)甲船在湖中B島的正南A處，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船自B島出發(fā)，以12 km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15 min時(shí)，兩船間的距離是_km.解析：畫出示意圖如圖所示，設(shè)行駛15 min時(shí)，甲船到達(dá)M點(diǎn)，乙船到達(dá)N點(diǎn)，由題意知AM8×2(km)，BN12×3(km)，MBABAM321(km)，由余弦定理得MN2MB2BN22MB·BNcos 120°192×1×3×13，所以MN(km)答案：7(2018·南京模擬)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50 s，升旗手應(yīng)以_m/s的速度勻速升旗解析：依題意可知AEC45°，ACE180°60°15°105°，所以EAC180°45°105°30°.由正弦定理可知，所以AC·sinCEA20 m.所以在RtABC中，ABAC·sinACB20×30 m.因?yàn)閲?guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50 s，所以升旗速度為0.6 m/s.答案：0.68如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，沿山坡向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD50 m，山坡的坡角為，則cos _.解析：在ABC中，由正弦定理可知BC50()(m)在BCD中，由正弦定理可知sinBDC1.由題圖知cos sinADEsinBDC1.答案：19(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC200 m，斜邊AB400 m現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，E，F(xiàn).(1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；(2) 設(shè)CEF，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且DEF，請(qǐng)將甲、乙之間的距離y表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離解：(1)依題意得BD300，BE100.在ABC中，cos B，所以B.在BDE中，由余弦定理得DE2BD2BE22BD·BE·cos B300210022×300×100×70 000，所以DE100.答：甲、乙兩人之間的距離為100 m.(2)由題意得EF2DE2y，BDECEF.在RtCEF中，CEEF·cosCEF2ycos .在BDE中，由正弦定理得，即，所以y，0，所以當(dāng)時(shí)，y有最小值50.答：甲、乙之間的最小距離為50 m.10(2019·淮安模擬)如圖，某軍艦艇位于島A的正西方C處，且與島A相距12海里經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國(guó)際海盜船以10海里/小時(shí)的速度從島A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄，同時(shí)，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°的方向勻速追趕國(guó)際海盜船，恰好用2小時(shí)在B處追上(1)求該軍艦艇的速度；(2)求sin 的值解：(1)依題意知，CAB120°，AB10×220，AC12，ACB，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·ACcosCAB2021222×20×12cos 120°784，解得BC28，所以該軍艦艇的速度為14海里/小時(shí)(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開m(取1.4，1.7)解析：如圖，作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意知A15°，DBC45°，所以ACB30°，AB50×42021 000(m)又在ABC中，所以BC×sin 15°10 500()因?yàn)镃DAD，所以CDBC·sinDBC10 500()×10 500(1)7 350.故山頂?shù)暮０胃叨萮10 0007 3502 650(m)答案：2 6502(2019·南京調(diào)研)某市有一中心公園，平面圖如圖所示，公園的兩條觀光路為l1，l2，公園管理中心位于點(diǎn)O正南方2 km l1上的A處，現(xiàn)計(jì)劃在l2即點(diǎn)O北偏東45°方向，觀光路l2路旁B處修建一公園服務(wù)中心(1)若為方便管理，使AB兩點(diǎn)之間的直線距離不大于2 km，求OB長(zhǎng)度的取值范圍；(2)為了方便市民活動(dòng)，擬在l1，l2上分別選點(diǎn)M，N，修建一條小路MN.因環(huán)境需要，以O(shè)為圓心， km為半徑的扇形區(qū)域有珍貴的植物不能被破壞，即不適宜修建，請(qǐng)確定M，N的位置，使M，N之間的距離最短解：(1)在ABO中，OA2，OBx，AOB135°，根據(jù)余弦定理得，AB2OA2OB22·OA·OB·cos 135°，22x22×x×2×(2)2，即x22x160，解得4x2，x0，0x2，故OB長(zhǎng)度的取值范圍為0,2 (2)依題意得，直線MN必與圓O相切設(shè)切點(diǎn)為C，連結(jié)OC，則OCMN.設(shè)OMa，ONb，MNc，在OMN中，MN·OC·OM·ON·sin 135°，·c·ab，即cab，由余弦定理得，c2a2b22abcos 135°a2b2ab(2)ab(2)c，解得c2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，c取得最小值2.M，N與點(diǎn)O的距離均為 km時(shí)，M，N之間的距離最短，最短距離為(2)km.8