（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.6 冪函數(shù)與二次函數(shù)練習(xí) 新人教B版

2.6 冪函數(shù)與二次函數(shù)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.冪函數(shù)f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)上為增函數(shù),則m的值為()A.1或3B.1C.3D.22.若四個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則a,b,c,d的大小關(guān)系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c3.(2019·全國(guó)卷)若a>b,則()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|4.設(shè)a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】1.選B.由題意知解得m=1.2.選B.由冪函數(shù)的圖象可知,在(0,1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大,函數(shù)圖象越接近x軸,由題圖知a>b>c>d.3.選C.當(dāng)a=3,b=2時(shí),選項(xiàng)A錯(cuò).由于a>b,而y=3x是增函數(shù),所以3a>3b,故B錯(cuò).當(dāng)a=3,b=-5時(shí),選項(xiàng)D錯(cuò).因?yàn)閥=x3是增函數(shù),故a3>b3,故C正確.4.選A.因?yàn)?<<<1,指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減,故<.又由于冪函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增,故>,所以<<,即b<c<a.1.冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)掌握冪函數(shù)圖象只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域,即x=1,y=1,y=x分的區(qū)域.根據(jù)<0,0<<1,=1,>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.2.比較冪值大小的方法在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.【秒殺絕招】題3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,則可排除選項(xiàng)A,B,D.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與解析式 【典例】1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,則()A.f(m+1)0B.f(m+1)0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<02.已知二次函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(0)=3,對(duì)xR,都有f(1+x)=f(1-x)成立,則f(x)的解析式為_(kāi). 3.已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,則f(x)=_. 【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由f(x)=x2+x+a,想到該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-2由f(1+x)=f(1-x),想到該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=13由二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(-2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a0)【解析】1.選C.因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致圖象如圖所示,由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.答案:f(x)=x2-2x+33.設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(x+2)(a0),所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x1.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式形式,選法如下:2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0).(2)頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a0).(3)兩根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).1.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a1)與二次函數(shù)y=(a-1)x2-x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()【解析】選A.若0<a<1,則y=logax在(0,+)上單調(diào)遞減,y=(a-1)x2-x開(kāi)口向下,其圖象的對(duì)稱軸在y軸左側(cè),排除C,D.若a>1,則y=logax在(0,+)上是增函數(shù),y=(a-1)x2-x圖象開(kāi)口向上,且對(duì)稱軸在y軸右側(cè),因此B項(xiàng)不正確,只有選項(xiàng)A正確.2.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,bR,a0),xR,若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,則f(x)=_. 【解析】設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考點(diǎn)三二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 命題精解讀考什么:(1)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),求值或解不等式,求參數(shù)值等問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).怎么考:冪函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對(duì)稱性等知識(shí)單獨(dú)或交匯考查,也可能以分段函數(shù)的形式呈現(xiàn).新趨勢(shì):冪函數(shù)、二次函數(shù)與其他基本初等函數(shù)交匯,圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程、不等式交匯考查.學(xué)霸好方法一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2+bx+c>0(a0)恒成立”的充要條件是“a>0且<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a0)恒成立”的充要條件是“a<0且<0”.二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題【典例】已知函數(shù)f(x)=-2x2+bx,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有f(4+t)=f(4-t),則f(-2),f(4),f(5)的大小關(guān)系為()A.f(5)>f(-2)>f(4)B.f(4)>f(5)>f(-2)C.f(4)>f(-2)>f(5)D.f(-2)>f(4)>f(5)【解析】選B.因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t都有f(4+t)=f(4-t),所以函數(shù)f(x)=-2x2+bx的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱,所以f(-2)=f(10),又函數(shù)f(x)=-2x2+bx的圖象開(kāi)口向下,所以函數(shù)f(x)在4,+)上是減函數(shù),因?yàn)?<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).如何確定二次函數(shù)的單調(diào)性?提示:關(guān)鍵看二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向與對(duì)稱軸.二次函數(shù)中的恒成立問(wèn)題【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對(duì)一切xR恒成立,則a的取值范圍是()A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)2.若關(guān)于x的不等式x2-4xm對(duì)任意x(0,1恒成立,則m的取值范圍為_(kāi). 【解析】1.選C.當(dāng)a-2=0即a=2時(shí),不等式為-4<0,恒成立.當(dāng)a-20時(shí),解得-2<a<2,所以a的取值范圍是-2<a2.2.只需要在x(0,1時(shí),(x2-4x)minm即可.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-4x在(0,1上為減函數(shù),所以當(dāng)x=1時(shí),(x2-4x)min=1-4=-3,所以m-3.答案:(-,-31.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路是什么?提示:一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù).2.兩種思路目標(biāo)是什么?提示:目標(biāo)都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值.二次函數(shù)的最值問(wèn)題【典例】若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,則M-m()A.與a有關(guān)且與b有關(guān)B.與a有關(guān)但與b無(wú)關(guān)C.與a無(wú)關(guān)且與b無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)但與b有關(guān)【解析】選B.f(x)=x2+ax+b=+b-,對(duì)稱軸為x=-,下面分情況討論:(1)若->1,即a<-2時(shí),f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此時(shí)M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若<-1,即-2a<-1時(shí),f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f=b-,此時(shí)M-m=b-=.(3)若0<-,即-1a<0時(shí),f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f=b-,此時(shí)M-m=a+b+1-=1+a+.(4)若-0,即a0時(shí),f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此時(shí)M-m=a+b+1-b=1+a.綜上,M-m與a有關(guān),而與b無(wú)關(guān).函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在區(qū)間m,n上的最大值、最小值可能在何處取得?提示:由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:其最大值、最小值可能為f(m),f(n),f.1.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,則g(1)+g(2)+g(20)=()A.56B.112C.0D.38【解析】選B.由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得,當(dāng)3x20時(shí),f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.2.已知函數(shù)y=ax2+bx-1在(-,0上是單調(diào)函數(shù),則y=2ax+b的圖象不可能是()【解析】選B.當(dāng)a=0,b0時(shí),y=2ax+b的圖象可能是A;當(dāng)a>0時(shí),-0b0,y=2ax+b的圖象可能是C;當(dāng)a<0時(shí),-0b0,y=2ax+b的圖象可能是D.3.(2019·南昌模擬)如果函數(shù)f(x)=x2-ax-a在區(qū)間0,2上的最大值為1,那么實(shí)數(shù)a=_. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-ax-a的圖象為開(kāi)口向上的拋物線,所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得.因?yàn)閒(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.答案:11.(2020·合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對(duì)于x1,3,f(x)<-m+4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(-,0B.C.(-,0)D.【解析】選D.由題意,f(x)<-m+4對(duì)于x1,3恒成立,即m(x2-x+1)<5對(duì)于x1,3恒成立.因?yàn)楫?dāng)x1,3時(shí),x2-x+11,7,所以不等式f(x)<-m+4等價(jià)于m<.因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí),取最小值,所以若要不等式m<對(duì)于x1,3恒成立,則必須滿足m<,因此,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.2.(2020·北京模擬)已知集合a,b,c=2,3,4,且下列三個(gè)關(guān)系:a3,b=3,c4有且只有一個(gè)正確,則函數(shù)f(x)=的值域是_. 【解析】由a,b,c=2,3,4得,a,b,c的取值有以下情況:當(dāng)a=2時(shí),b=3,c=4時(shí),不滿足題意.當(dāng)a=2時(shí),b=4,c=3時(shí),不滿足題意;當(dāng)a=3時(shí),b=2,c=4時(shí),不滿足題意;當(dāng)a=3時(shí),b=4,c=2時(shí),滿足題意;當(dāng)a=4時(shí),b=2,c=3時(shí),不滿足題意;當(dāng)a=4時(shí),b=3,c=2時(shí),不滿足題意;綜上得,a=3,b=4,c=2,則函數(shù)f(x)=當(dāng)x>4時(shí),f(x)=2x>24=16,當(dāng)x4時(shí),f(x)=(x-2)2+33,綜上f(x)3,即函數(shù)的值域?yàn)?,+).答案:3,+)9