（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 大題專(zhuān)項(xiàng)練（一）三角 理

大題專(zhuān)項(xiàng)練(一)三角A組基礎(chǔ)通關(guān)1.已知在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且ccos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求ABC的面積S的最大值.解(1)因?yàn)閏cosB+(b-2a)cosC=0,所以sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,所以sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC,所以sin(B+C)=2sinAcosC.又因?yàn)锳+B+C=,所以sinA=2sinAcosC.又因?yàn)锳(0,),所以sinA0,所以cosC=12.又C(0,),所以C=3.(2)由(1)知,C=3,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,所以ab4.所以ABC面積的最大值(SABC)max=12absinCmax=12×4×sin3=3.2.如圖,在梯形ABCD中,A=D=90°,M為AD上一點(diǎn),AM=2MD=2,BMC=60°.(1)若AMB=60°,求BC;(2)設(shè)DCM=,若MB=4MC,求tan .解(1)由BMC=60°,AMB=60°,得CMD=60°.在RtABM中,MB=2AM=4;在RtCDM中,MC=2MD=2.在MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cosBMC=12,BC=23.(2)因?yàn)镈CM=,所以ABM=60°-,0°<<60°.在RtMCD中,MC=1sin;在RtMAB中,MB=2sin(60°-),由MB=4MC,得2sin(60°-)=sin,所以3cos-sin=sin,即2sin=3cos,整理可得tan=32.3.已知向量m=(2acos x,sin x),n=(cos x,bcos x),函數(shù)f(x)=m·n-32,函數(shù)f(x)在y軸上的截距為32,與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是12,1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移(>0)個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到函數(shù)y=sin x的圖象,求的最小值.解(1)f(x)=m·n-32=2acos2x+bsinxcosx-32,由f(0)=2a-32=32,得a=32,此時(shí),f(x)=32cos2x+b2sin2x,由f(x)34+b24=1,得b=1或b=-1,當(dāng)b=1時(shí),f(x)=sin2x+3,經(jīng)檢驗(yàn)12,1為最高點(diǎn);當(dāng)b=-1時(shí),f(x)=sin2x+23,經(jīng)檢驗(yàn)12,1不是最高點(diǎn).故函數(shù)的解析式為f(x)=sin2x+3.(2)函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=sin2x+2+3的圖象,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后得到函數(shù)y=sinx+2+3的圖象,所以2+3=2k(kZ),=-6+k(kZ),因?yàn)?gt;0,所以的最小值為56.4.函數(shù)f(x)=Asinx+6(A>0,>0)的最大值為2,它的最小正周期為2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若g(x)=cos x·f(x),求g(x)在區(qū)間-6,4上的最大值和最小值.解(1)由已知f(x)最小正周期為2,所以2=2,解得=1.因?yàn)閒(x)的最大值為2,所以A=2,所以f(x)的解析式為f(x)=2sinx+6.(2)因?yàn)閒(x)=2sinx+6=2sinxcos6+2cosxsin6=3sinx+cosx,所以g(x)=cosx·f(x)=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+1+cos2x2=sin2x+6+12.因?yàn)?6x4,所以-62x+623,于是,當(dāng)2x+6=2,即x=6時(shí),g(x)取得最大值32;當(dāng)2x+6=-6,即x=-6時(shí),g(x)取得最小值0.5.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0,0<<)的一系列對(duì)應(yīng)值如表:x-4064234y01120-10(1)求f(x)的解析式;(2)若在ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-12(A為銳角),求ABC的面積.解(1)由題中表格給出的信息可知,函數(shù)f(x)的周期為T(mén)=34-4=,所以=2=2.注意到sin(2×0+)=1,也即=2+2k(kZ),由0<<,所以=2.所以函數(shù)的解析式為f(x)=sin2x+2=cos2x.(2)f(A)=cos2A=-12,且A為銳角,A=3.在ABC中,由正弦定理得,BCsinA=ACsinB,sinB=AC·sinABC=2×323=33,BC>AC,B<A=3,cosB=63,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×63+12×33=32+36,SABC=12·AC·BC·sinC=12×2×3×32+36=32+32.6.在ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,C=4,b=4,ABC的面積為6.(1)求c的值;(2)求cos(B-C)的值.解(1)已知C=4,b=4,因?yàn)镾ABC=12absinC,即6=12×4a×22,解得a=32,由余弦定理,得c2=b2+a2-2abcosC=10,解得c=10.(2)由(1)得cosB=a2+c2-b22ac=55,由于B是三角形的內(nèi)角,得sinB=1-cos2B=255,所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=55×22+255×22=31010.B組能力提升7.如圖,在凸四邊形ABCD中,C,D為定點(diǎn),CD=3,A,B為動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足AB=BC=DA=1.(1)寫(xiě)出cos C與cos A的關(guān)系式;(2)設(shè)BCD和ABD的面積分別為S和T,求S2+T2的最大值.解(1)在BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2·BC·CDcosC=4-23cosC,在ABD中,BD2=2-2cosA,所以4-23cosC=2-2cosA,即cosA=3cosC-1.(2)S=12·BC·CD·sinC=3·sinC2,T=12AB·ADsinA=12sinA,所以S2+T2=34sin2C+14sin2A=34(1-cos2C)+14(1-cos2A)=-32cos2C+32cosC+34=-32cosC-362+78.由題意易知,C(30°,90°),所以cosC0,32,當(dāng)cosC=36時(shí),S2+T2有最大值78.8.某城市在進(jìn)行規(guī)劃時(shí),準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)圓形的開(kāi)放式公園.為達(dá)到社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益雙豐收,園林公司進(jìn)行如下設(shè)計(jì),安排圓內(nèi)接四邊形ABCD作為綠化區(qū)域,其余作為市民活動(dòng)區(qū)域.其中ABD區(qū)域種植花木后出售,BCD區(qū)域種植草皮后出售,已知草皮每平方米售價(jià)為a元,花木每平方米的售價(jià)是草皮每平方米售價(jià)的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km.(1)若BD=27 km,求綠化區(qū)域的面積;(2)設(shè)BCD=,當(dāng)取何值時(shí),園林公司的總銷(xiāo)售金額最大.解(1)在BCD中,BD=27,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cosBCD=BC2+CD2-BD22BC·CD=62+42-(27)22×6×4=12.因?yàn)锽CD(0°,180°),所以BCD=60°,又因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓,所以BAD=120°.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosBAD,將AD=4,BD=27代入化簡(jiǎn),得AB2+4AB-12=0,解得AB=2(AB=-6舍去).所以S四邊形ABCD=SABD+SBCD=12×2×4sin120°+12×4×6sin60°=83(km2),即綠化空間的面積為83km2.(2)在BCD、ABD中分別利用余弦定理得BD2=62+42-2×6×4cos,BD2=AB2+42-2×4ABcos(-),聯(lián)立消去BD,得AB2+8ABcos+48cos-36=0,得(AB+6)(AB+8cos-6)=0,解得AB=6-8cos(AB=-6舍去).因?yàn)锳B>0,所以6-8cos>0,即cos<34.SABD=12AB·ADsin(-)=12(6-8cos)×4sin=12sin-16sincos,SBCD=12BC·CDsin=12×6×4sin=12sin.因?yàn)椴萜っ科椒矫资蹆r(jià)為a元,則花木每平方米售價(jià)為3a元,設(shè)銷(xiāo)售金額為y百萬(wàn)元.y=f()=3a(12sin-16sincos)+12asin=48a(sin-sincos),f'()=48a(cos-cos2+sin2)=48a(-2cos2+cos+1)=-48a(2cos+1)(cos-1),令f'()>0,解得-12<cos<1,又cos<34,不妨設(shè)cos0=34,則函數(shù)f()在0,23上為增函數(shù);令f'()<0,解得cos<-12,則函數(shù)f()在23,上為減函數(shù),所以當(dāng)=23時(shí),f()max=363a.答:(1)綠化區(qū)域的面積為83km2;(2)當(dāng)=23時(shí),園林公司的銷(xiāo)售金額最大,最大為363a百萬(wàn)元.10