廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練26 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用 文

考點(diǎn)規(guī)范練26平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1.對(duì)任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是()A.|a·b|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B解析A項(xiàng),設(shè)向量a與b的夾角為,則a·b=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B項(xiàng),當(dāng)a與b同向時(shí),|a-b|=|a|-|b|;當(dāng)a與b非零且反向時(shí),|a-b|=|a|+|b|>|a|-|b|.故不等式不恒成立;C項(xiàng),(a+b)2=|a+b|2恒成立;D項(xiàng),(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.綜上,選B.2.已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B解析由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角=60°,則(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|b|cos-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.3.已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a|b|+a·b=0,則實(shí)數(shù)m等于()A.-4B.4C.-2D.2答案C解析設(shè)a,b的夾角為,|a|b|+a·b=0,|a|b|+|a|b|cos=0,cos=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),b=-2a,m=-2.4.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB·(BA+CA)=0,則實(shí)數(shù)的值為()A.3B.-92C.-3D.-53答案C解析BA=(1,2),CA=(4,5),CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),BA+CA=(+4,2+5).又CB·(BA+CA)=0,3(+4)+3(2+5)=0,解得=-3.5.在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為()A.5B.25C.5D.10答案C解析依題意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,ACBD.四邊形ABCD的面積為12|AC|BD|=12×5×20=5.6.在ABC中,邊AB上的高為CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案D解析a·b=0,CACB.|a|=1,|b|=2,AB=5.又CDAB,由射影定理,得AC2=AD·AB.AD=45=455.ADAB=4555=45.AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故選D.7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且ab,則|2a-b|a·(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.54答案B解析a=(m,2),b=(2,-1),且ab,a·b=2m-2=0,解得m=1,a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,|2a-b|a·(a+b)=55=1.8.設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得m=n”是“m·n<0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析m,n為非零向量,若存在<0,使m=n,即兩向量反向,夾角是180°,則m·n=|m|n|cos180°=-|m|n|<0.反過(guò)來(lái),若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°,并不一定反向,即不一定存在負(fù)數(shù),使得m=n,所以“存在負(fù)數(shù),使得m=n”是“m·n<0”的充分不必要條件.故選A.9.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),則向量AB在向量CD方向上的投影為()A.105B.2105C.3105D.4105答案B解析由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得AB=(2,2),CD=(-1,3),AB·CD=2×(-1)+2×3=4,|CD|=1+9=10,則向量AB在向量CD方向上的投影為AB·CD|CD|=410=2105.10.(2018江蘇蘇州調(diào)研)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,則a,c的夾角大小為. 答案120°解析設(shè)a,c的夾角為.a=(1,2),b=(-2,-4),b=-2a,(a+b)·c=-a·c=52.a·c=-52.cos=a·c|a|c|=-525×5=-12.0°180°,=120°.11.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a與b的夾角;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.解(1)因?yàn)閨a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cos-3=9.所以cos=12.因?yàn)?,所以=3.(2)由(1)可知a·b=|a|b|cos3=1,所以|a+b|=a2+b2+2a·b=7,a·(a+b)=a2+a·b=5.所以向量a在a+b方向上的投影為a·(a+b)|a+b|=57=577.二、能力提升12.已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,向量m與n的夾角為,且cos =13.若n(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為()A.4B.-4C.94D.-94答案B解析由4|m|=3|n|,可設(shè)|m|=3k,|n|=4k(k>0),因?yàn)閚(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故選B.13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P為矩形內(nèi)一點(diǎn),且AP=32.若AP=AB+AD(,R),則+3的最大值為()A.32B.62C.3+34D.6+324答案B解析因?yàn)锳P=AB+AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2AB·AD.因?yàn)锳B=1,AD=3,ABAD,所以34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值為62,當(dāng)且僅當(dāng)=64,=24時(shí)等號(hào)成立.14.已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP=AB|AB|+4AC|AC|,則PB·PC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21答案A解析以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0),B1t,0,C(0,t),AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.當(dāng)且僅當(dāng)1t=4t,即t=12時(shí)等號(hào)成立,PB·PC的最大值為13.15.如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則AE·BE的最小值為()A.2116B.32C.2516D.3答案A解析如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接EF.AE·BE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.當(dāng)EFCD時(shí),|EF|最小,即AE·BE取最小值.過(guò)點(diǎn)A作AHEF于點(diǎn)H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90°.因?yàn)镈AB=120°,所以HAF=30°.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AE·BE)min=542-14=2116.16.如圖,在ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,則AB·AD的值是. 答案22解析CP=3PD,AP=AD+14AB,BP=AD-34AB.又AB=8,AD=5,AP·BP=AD+14AB·AD-34AB=|AD|2-12AB·AD-316|AB|2=25-12AB·AD-12=2.AB·AD=22.三、高考預(yù)測(cè)17.已知兩個(gè)平面向量a,b滿足|a|=1,|a-2b|=21,且a與b的夾角為120°,則|b|=. 答案2解析向量a,b滿足|a|=1,|a-2b|=21,且a與b的夾角為120°,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4×1×|b|cos120°+4|b|2=21,化簡(jiǎn)得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(負(fù)值舍去).8