（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練20 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理

專題突破練20統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1.(2019四川成都二模,理18)為了讓稅收政策更好地為社會發(fā)展服務(wù),國家在修訂中華人民共和國個人所得稅法之后,發(fā)布了個人所得稅專項附加扣除暫行辦法,明確“專項附加扣除”就是子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等費用,并公布了相應(yīng)的定額扣除標(biāo)準(zhǔn),決定自2019年1月1日起施行.某企業(yè)為了調(diào)查內(nèi)部職員對新個稅方案的滿意程度與年齡的關(guān)系,通過問卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)得如下2×2列聯(lián)表:40歲及以下40歲以上合計基本滿意251035很滿意153045合計404080(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為滿意程度與年齡有關(guān)?(2)為了幫助年齡在40歲以下的未購房的8名員工解決實際困難,該企業(yè)擬按員工貢獻(xiàn)積分x(單位:分)給予相應(yīng)的住房補貼y(單位:元),現(xiàn)有兩種補貼方案,方案甲:y=1 000+700x;方案乙:y=3000,0<x5,5600,5<x10,9000,x>10.已知這8名員工的貢獻(xiàn)積分為2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,將采用方案甲比采用方案乙獲得更多補貼的員工記為“A類員工”.為了解員工對補貼方案的認(rèn)可度,現(xiàn)從這8名員工中隨機抽取4名進(jìn)行面談,求恰好抽到3名“A類員工”的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù):P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6352.下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,17)建立模型;y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.3.海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).附:P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).4.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,i=116(i-8.5)218.439,i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,16.(1)求(xi,i)(i=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?在(x-3s,x+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)附:樣本(xi,yi)(i=1,2,n)的相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2.0.0080.09.5.(2019山東實驗等四校聯(lián)考,理19)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到下表(單位:人).經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性50100女性70100合計(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X,求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8286.隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視,有機、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎,同時生產(chǎn)運輸銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本,而且減去了蔬菜的二次污染等問題.(1)在有機蔬菜的種植過程中,有機肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計某種有機蔬菜的產(chǎn)量與有機肥料的用量有關(guān)系,每個有機蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量y(百斤)與使用堆漚肥料x(千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表:使用堆漚肥料x(千克)24568產(chǎn)量增加量y(百斤)34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;并根據(jù)所求線性回歸方程,估計如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,則每個有機蔬菜大棚產(chǎn)量增加量y是多少百斤?(2)某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客,如果當(dāng)天前8小時賣不完,則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢,且處理完畢后,當(dāng)天不再進(jìn)貨).該生鮮超市統(tǒng)計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:x,yN*,且x+y=30):每日前8個小時銷售量(單位:份)15161718192021頻數(shù)10x16161513y若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率,該生鮮超市當(dāng)天銷售有機蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù),當(dāng)購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大時,求x的取值范圍.附:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.7.(2019陜西第二次質(zhì)檢,理18)某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營狀況,對該公司2018年連續(xù)6個月的利潤進(jìn)行了統(tǒng)計,并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示.(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤y(單位:百萬元)與月份代碼x之間的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測該公司2019年3月份的利潤;(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有采購成本分別為10萬元/包和12萬元/包的A,B兩種型號的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月,但新材料的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致材料損壞的年限不相同,現(xiàn)對A,B兩種新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各100件進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表:使用壽命材料類型1個月2個月3個月4個月總計A20353510100B10304020100經(jīng)甲公司測算,平均每包新型材料每月可以帶來5萬元收入,不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月,且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率,如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人,以每包新型材料產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款新型材料?參考數(shù)據(jù):i=16yi=96,i=16xiyi=371.附:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.8.(2019山東青島二模,理20)“愛國,是人世間最深層、最持久的情感,是一個人立德之源、立功之本.”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中,愛國主義始終是激昂的主旋律.愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進(jìn)行科技改造,根據(jù)市場調(diào)研與模擬,得到科技改造投入x(億元)與科技改造直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0<x17時,建立了y與x的兩個回歸模型:模型:y=4.1x+11.8;模型:y=21.3x-14.4;當(dāng)x>17時,確定y與x滿足的線性回歸方程為:y=-0.7x+a.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)0<x17時模型、的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.回歸模型模型模型回歸方程y=4.1x+11.8y=21.3x-14.4i=17(yi-yi)2182.479.2附:刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2,174.1.(2)為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小;(附:用最小二乘法求線性回歸方程y=bx+a的系數(shù)公式b=i=1nxiyi-nx·yi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2;a=y-bx)(3)科技改造后,“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高,X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012),公司對科技改造團隊的獎勵方案如下:若發(fā)動機的熱效率不超過50%,不予獎勵;若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%,每臺發(fā)動機獎勵2萬元;若發(fā)動機的熱效率超過53%,每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.(附:隨機變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-<<+)=0.682 6,P(-2<<+2)=0.954 4.)參考答案專題突破練20統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1.解(1)根據(jù)列聯(lián)表可以求得K2的觀測值:k=80(25×30-10×15)235×45×40×40=80711.429>6.635,故有99%的把握認(rèn)為滿意程度與年齡有關(guān).(2)據(jù)題意,該8名員工的貢獻(xiàn)積分及按甲乙兩種方案所獲補貼情況為:積分23677111212方案甲24003100520059005900870094009400方案乙30003000560056005600900090009000由表可知,“A類員工”有5名,設(shè)從這8名員工中隨機抽取4名進(jìn)行面談,恰好抽到3名“A類員工”的概率為P,則P=C53C31C84=37.2.解(1)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=-30.4+13.5×19=226.1(億元).利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=99+17.5×9=256.5(億元).(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可)3.解(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.4092.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×10415.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50+0.5-0.340.06852.35(kg).4.解(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi,i)(i=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)為r=i=116(xi-x)(i-8.5)i=116(xi-x)2i=116(i-8.5)2=-2.780.212×16×18.439-0.18.由于|r|<0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)由于x=9.97,s0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除離群值,即第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(16×9.97-9.22)=10.02,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.i=116xi2=16×0.2122+16×9.9721591.134,剔除第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1591.134-9.222-15×10.022)0.008,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為0.0080.09.5.解(1)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性5050100女性7030100合計12080200k2=200×(50×30-50×70)2120×80×100×100=2538.333>6.635,故能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)由題意,所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有10×70100=7人,偶爾或不用網(wǎng)購的有10-7=3人,所以選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率P=C72C31+C73C103=4960.由2×2列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民頻率為120200=0.6.將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取1人,恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6.由題意XB(10,0.6),E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4.6.解(1)x=2+4+5+6+85=5,y=3+4+4+4+55=4.i=15xiyi=2×3+4×4+5×4+6×4+8×5=106,i=15xi2=22+42+52+62+82=145,b=106-5×5×4145-5×52=0.3,a=y-bx=4-0.3×5=2.5,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.3x+2.5.當(dāng)x=10時,y=0.3×10+2.5=5.5百斤,所以如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,估計每個有機蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量y是5.5百斤.(2)若該超市一天購進(jìn)17份這種有機蔬菜,Y1表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y1的分布列為Y1657585P10100x10090-x100Y1的數(shù)學(xué)期望是E(Y1)=65×10100+75×x100+85×90-x100=8300-10x100;若該超市一天購進(jìn)18份這種有機蔬菜,Y2表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y2的分布列為Y260708090P10100x1001610074-x100Y2的數(shù)學(xué)期望是E(Y2)=60×10100+70×x100+80×16100+90×74-x100=8540-20x100;又購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大,故8300-10x100>8540-20x100,求得x>24,故x的取值范圍是(24,30),xN*.7.解(1)由折線圖可知統(tǒng)計數(shù)據(jù)(xi,yi)共6組,即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),(6,21),計算可得x=16(1+2+3+4+5+6)=3.5,y=16i=16yi=16×96=16,i=1nxi2-nx2=12+22+32+42+52+62-6×3.52=17.5.故b=371-6×3.5×1617.5=2,故a=y-bx=16-2×3.5=9,x關(guān)于y的線性回歸方程為y=2x+9,故x=11時,則y=2×11+9=31,即預(yù)測公司2019年3月份(即x=11時)的利潤為31百萬元.(2)由頻率估計概率,A型材料可使用1個月,2個月,3個月、4個月的概率分別為0.2,0.35,0.35,0.1,A型材料利潤的數(shù)學(xué)期望為(5-10)×0.2+(10-10)×0.35+(15-10)×0.35+(20-10)×0.1=1.75萬元;B型材料可使用1個月,2個月,3個月、4個月的概率分別為0.1,0.3,0.4,0.2,B型材料利潤的數(shù)學(xué)期望為(5-12)×0.1+(10-12)×0.3+(15-12)×0.4+(20-12)×0.2=1.50萬元;1.75>1.50,應(yīng)該采購A型材料.8.解(1)由表格中的數(shù)據(jù),有182.4>79.2,即182.4i=17(yi-y)2>79.2i=17(yi-y)2,所以模型的R2小于模型,說明回歸模型刻畫的擬合效果更好.所以當(dāng)x=17億元時,科技改造直接收益的預(yù)測值為y=21.3×17-14.421.3×4.1-14.4=72.93(億元).(2)由已知可得:x-20=1+2+3+4+55=3,所以x=23,y-60=8.5+8+7.5+6+65=7.2,所以y=67.2.所以a=y+0.7x=67.2+0.7×23=83.3.所以當(dāng)x>17億元時,y與x滿足的線性回歸方程為:y=-0.7x+83.3.所以當(dāng)x=20億元時,科技改造直接收益的預(yù)測值y=-0.7×20+83.3=69.3,所以當(dāng)x=20億元時,實際收益的預(yù)測值為69.3+10=79.3億元>72.93億元,所以科技改造投入20億元時,公司的實際收益的更大.(3)因為P(0.52-0.02<X<0.52+0.02)=0.954 4,所以P(X>0.50)=1+0.95442=0.977 2,P(X0.50)=1-0.95442=0.022 8.因為P(0.52-0.01<X<0.52+0.01)=0.682 6,所以P(X>0.53)=1-0.68262=0.158 7,所以P(0.50<X0.53)=0.977 2-0.158 7=0.818 5.設(shè)每臺發(fā)動機獲得的獎勵為Y(萬元),則Y的分布列為:Y025P0.022 80.818 50.158 7所以每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=0×0.0228+2×0.8185+5×0.1587=2.4305(萬元).24