（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí)（含解析）

第3講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 一、選擇題 1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則(　　) A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 解析　直線l1，l2是異面直線，一定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件.故選A. 答案　A 2.(2017·鄭州聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　) A.相交或平行 B.相交或異面 C.平行或異面 D.相交、平行或異面 解析　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D. 答案　D 3.給出下列說(shuō)法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面.其中正確的序號(hào)是(　　) A.① B.①④ C.②③ D.③④ 解析　顯然命題①正確. 由于三棱柱的三條平行棱不共面，②錯(cuò). 命題③中，兩個(gè)平面重合或相交，③錯(cuò). 三條直線兩兩相交，可確定1個(gè)或3個(gè)平面，則命題④正確. 答案　B 4.(2017·濟(jì)南模擬)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是(　　) A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面 B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交 C.若a∥b，則a，b與c所成的角相等 D.若a⊥b，b⊥c，則a∥c 解析　若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C. 答案　C 5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析　連接DF，則AE∥DF， ∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角. 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a， 則D1D＝a，DF＝a，D1F＝a， ∴cos∠D1FD＝＝. 答案　B 二、填空題 6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線MN與AC所成的角為60°. 其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(填序號(hào)). 解析　A，M，C1三點(diǎn)共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，C1?AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，①②錯(cuò)；M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③正確；連接D1C，因?yàn)镈1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°. 答案?、邰? 7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)_______. 解析　取CD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行，則EF也與之平行，與其余四個(gè)平面相交. 答案　4 8.(2014·全國(guó)Ⅱ卷改編)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為_(kāi)_______. 解析　如圖所示，取BC中點(diǎn)D，連接MN，ND，AD. ∵M(jìn)，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)， ∴MN綉B(tài)1C1.又BD綉B(tài)1C1， ∴MN綉B(tài)D，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此ND∥BM， ∴∠AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補(bǔ)角). 設(shè)BC＝2，則BM＝ND＝，AN＝，AD＝， 在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝＝. 故異面直線BM與AN所成角的余弦值為. 答案　 三、解答題 9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn).問(wèn)： (1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由； (2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由. 解　(1)AM，CN不是異面直線.理由：連接MN，A1C1，AC. 因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1. 又因?yàn)锳1A綉C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形， 所以A1C1∥AC，所以MN∥AC， 所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)， 故AM和CN不是異面直線. (2)直線D1B和CC1是異面直線. 理由：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線， 則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α， 所以D1，B，C，C1∈α， 這與B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假設(shè)不成立， 即D1B和CC1是異面直線. 10.(2017·成都月考)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn).已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱錐P－ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值. 解　(1)S△ABC＝×2×2＝2， 三棱錐P－ABC的體積為 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝ . (2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角). 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. 11.以下四個(gè)命題中， ①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面； ③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面. 正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析?、偌僭O(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形. 答案　B 12.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定 解析　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C. 若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直. 因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定. 答案　D 13.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為_(kāi)_______. 解析　取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.由題設(shè)，HF綉AD. ∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角). 在△GHF中，可求HF＝， GF＝GH＝，∴cos∠HFG＝＝. 答案　 14.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn). (1)求四棱錐O－ABCD的體積； (2)求異面直線OC與MD所成角的正切值. 解　(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4， 所以四棱錐O－ABCD的體積V＝×4×2＝. (2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE. 又M為OA中點(diǎn)，∴ME∥OC， 則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝， ∵()2＋()2＝()2， ∴△DEM為直角三角形，∴tan∠EMD＝＝＝. ∴異面直線OC與MD所成角的正切值為. 6