（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（十七）橢圓、雙曲線與拋物線 文

能力升級(jí)練(十七)橢圓、雙曲線與拋物線一、選擇題1.(2019福建廈門3月質(zhì)量檢查)若拋物線x2=ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,則a=()A.2B.4C.±2D.±4解析由拋物線x2=ay,可知:焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,a4,準(zhǔn)線方程為y=-a4,拋物線x2=ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為a4+a4=1,解得a=±2,故選C.答案C2.(2019四川成都高新區(qū)高三一診)已知橢圓C:16x2+4y2=1,則下列結(jié)論正確的是()A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12B.焦距為34C.短軸長(zhǎng)為14D.離心率為32解析把橢圓方程16x2+4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=34,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=1,焦距2c=32,短軸長(zhǎng)為2b=12,離心率e=ca=32,故選D.答案D3.雙曲線C1的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若C1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C2:y2=12x的焦點(diǎn)重合,且拋物線C2的準(zhǔn)線交雙曲線C1所得的弦長(zhǎng)為43,則雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.6B.26C.3D.23解析設(shè)雙曲線C1的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由已知,拋物線C2的焦點(diǎn)為(3,0),準(zhǔn)線方程為x=-3,即雙曲線中c=3,a2+b2=9;將-3代入雙曲線方程,解得y=±ba9-a2,又拋物線C2的準(zhǔn)線交雙曲線C1所得的弦長(zhǎng)為43,所以2×ba9-a2=43與a2+b2=9聯(lián)立,得a2+23a-9=0,解得a=3,故雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為23.故選D.答案D4.(2019青海西寧四中第二次模擬)雙曲線x216-y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,在左支上過點(diǎn)F1的弦AB的長(zhǎng)為5,那么ABF2的周長(zhǎng)是()A.12B.16C.21D.26解析依題意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,|AF2|-|AF1|+(|BF2|-|BF1|)=16,又|AB|=5,|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21.|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即ABF2的周長(zhǎng)是26.故選D.答案D5.(2019廣東東莞二調(diào))直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的14,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.23D.34解析設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),則直線方程為xc+yb=1,橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的14,可得11c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,b2c2=3,a2-c2c2=3,e=ca=12.故選B.答案B6.(2019湖北七市教研協(xié)作體4月聯(lián)考)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與雙曲線x2-y23=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|>|BF|,且|AF|=2,則拋物線的方程為()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x解析拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為p2,0,準(zhǔn)線方程為x=-p2,雙曲線x2-y23=1的漸近線方程為y=±3x,由于過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與雙曲線x2-y23=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AF|>|BF|,所以可設(shè)直線AB方程為y=3x-p2,設(shè)A(x0,y0)x0>p2,則|AF|=x0+p2=2,x0=2-p2,由x0>p2可得0<p<2,所以y0=3(2-p),由3(2-p)2=2p2-p2,得p=1或p=3(舍去),所以拋物線方程為y2=2x,故選A.答案A7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,A,B為其左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若PA,PB,PO的斜率為k1,k2,k3,則m=k1k2k3的取值范圍為()A.(0,33)B.(0,3)C.0,39D.(0,8)解析e=ca=2,b=3a,設(shè)P(x,y),則x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2a2=3,又雙曲線的漸近線為y=±3x,所以0<k3<3,故0<m<33,選A.答案A8.(2019貴州遵義綏陽(yáng)中學(xué)模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):過焦點(diǎn)的光線(光線不同過拋物線對(duì)稱軸上任意兩點(diǎn))經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸;平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).若一條平行于x軸的光線從M(3,1)射出,經(jīng)過拋物線y2=4x上的點(diǎn)A反射后,再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B反射出,則直線AB的斜率為()A.-43B.43C.±43D.-169解析把y=1代入y2=4x,解得x=14,即A14,1.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知,直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)(1,0),所以直線AB的斜率k=1-014-1=-43.故選A.答案A9.設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.5解析如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQx軸.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心,|OA|=c2.Pc2,c2.又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故選A.答案A二、填空題10.(2019江西九江一模)如圖,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上的橢圓C1,C2都過點(diǎn)A(0,-2),且橢圓C1,C2的離心率相等,以橢圓C1,C2的四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為22,則橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 解析由題意可設(shè)橢圓C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a>2,0<b<2),由a2-2a2=2-b22,即有ab=2,由2a2-2·2-b2=22,可得(a2-2)(2-b2)=2,解得a=2,b=1,即有橢圓C1:x24+y22=1.答案x24+y22=111.(2019安徽蚌埠二中一模)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1,k2,若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則k1·k2的值為. 解析橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是e=ca=1-b2a2=32,a=2b,于是橢圓的方程可化為x2+4y2=4b2.設(shè)M(m,n),直線AB的方程為y=kx,可得A(x0,kx0),B(-x0,-kx0).則m2+4n2=4b2,x02+4k2x02=4b2.m2-x02=4k2x02-4n2,k1·k2=kx0-nx0-m×-kx0-n-x0-m=n2-k2x02m2-x02=n2-k2x024k2x02-4n2=-14.k1·k2=-14.答案-1412.(2019全國(guó),文15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為. 解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則SMF1F2=12×|F1F2|×y0=4y0.又SMF1F2=12×4×82-22=415,4y0=415,解得y0=15.又點(diǎn)M在橢圓C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15).答案(3,15)13.(2018山西呂梁一模)如圖所示,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A、B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是. 解析易知圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),正好是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),圓(x-2)2+y2=16與拋物線y2=8x在第一象限交于點(diǎn)C(2,4),過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)D,則AF=AD,則AF+AB=AD+AB=BD,當(dāng)點(diǎn)B位于圓(x-2)2+y2=16與x軸的交點(diǎn)(6,0)時(shí),BD取最大值8,由于點(diǎn)B在實(shí)線上運(yùn)動(dòng),因此當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí),BD取最小值4,此時(shí)A與B重合,由于F、A、B構(gòu)成三角形,因此4<BD<8,所以,8<BF+BD<12.答案(8,12)三、解答題14.(2019貴州貴陽(yáng)模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M為短軸的上端點(diǎn),MF1·MF2=0,過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(2,-1)且不經(jīng)過點(diǎn)M的直線l與C相交于G,H兩點(diǎn).若k1,k2分別為直線MH,MG的斜率,求k1+k2的值.解(1)由MF1·MF2=0,得b=c.因?yàn)檫^F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,所以b2a=22,b=c,b2a=22,a2=b2+c2a2=2,b2=1.故橢圓C的方程為x22+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1,顯然k-1且k0.將y=kx-2k-1代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0,由題設(shè)可知=-16k(k+2)>0,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則x1+x2=4k(2k+1)1+2k2,x1x2=8k2+8k1+2k2,k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2k-2x1+kx2-2k-2x2=2k-(2k+2)×4k(2k+1)1+2k28k2+8k1+2k2=2k-(2k+1)=-1,所以k1+k2=-1.15.(2019天津,文19)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知3|OA|=2|OB|(O為原點(diǎn)).(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OCAP.求橢圓的方程.解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,橢圓的離心率為12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故橢圓方程為x24c2+y23c2=1,由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=34(x+c).點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化簡(jiǎn),得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,所以Pc,32c.由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t).因?yàn)镺CAP,且由()知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.因?yàn)閳AC與x軸相切,所以圓的半徑長(zhǎng)為2,又由圓C與l相切,得34(4+c)-21+(34) 2=2,可得c=2.所以,橢圓的方程為x216+y212=1.9