2020版高考數(shù)學復習 第十二單元 第58講 不等式的證明練習 文（含解析）新人教A版

第58講　不等式的證明 1.設(shè)a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值. 2.[2018·深圳耀華實驗學校模擬] 若a>0,b>0,a+b=1.求證: (1)4a+1b≥9; (2)2a+1+2b+1≤22. 3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正實數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3. 4.[2018·武昌調(diào)研] 設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+2x-3,記f(x)≤-1的解集為M. (1)求M; (2)當x∈M時,證明:x[f(x)]2-x2f(x)≤0. 5.[2018·甘肅臨澤一中模擬] 已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集為[0,2]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R,且1a+12b+13c=m,求證:a+2b+3c≥9. 6.[2018·衡水模擬] 已知函數(shù)f(x)=|x-3|. (1)求不等式f(x)<x+1的解集M; (2)設(shè)a,b∈M,證明:(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2. 7.[2018·銀川一中模擬] 已知函數(shù)f(x)=|x|-|x-1|. (1)若f(x)≥|m-1|的解集非空,求實數(shù)m的取值范圍; (2)若正數(shù)x,y滿足x2+y2=M,M為(1)中m可取到的最大值,求證:x+y≥2xy. 8.[2018·鄭州三模] 已知a>0,b>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1. (1)證明:2a+b=2; (2)若a+2b≥tab恒成立,求實數(shù)t的最大值. 5 課時作業(yè)(五十八) 1.解:∵(a+b+c)2a+2b+2c=[(a)2+(b)2+(c)2]·2a2+2b2+2c2≥a·2a+b·2b+c·2c2=18,且a+b+c=9, ∴2a+2b+2c≥2,當且僅當a=b=c時取等號, ∴2a+2b+2c的最小值為2. 2.證明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+1≥5+24ba·ab=9(當且僅當a=2b時取等號). (2)欲證2a+1+2b+1≤22, 只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)≤8, ∵a>0,b>0,a+b=1, ∴只需證(2a+1)(2b+1)≤2, 由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)≤(2a+1)+(2b+1)2=2, ∴不等式2a+1+2b+1≤22成立. 3.解:(1)因為|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 當且僅當-1≤x≤2時,等號成立, 所以f(x)的最小值為3,即a=3. (2)證明:由(1)知p+q+r=3, 又因為p,q,r是正實數(shù), 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9(當且僅當p=q=r=1時取等號),即p2+q2+r2≥3. 4.解:(1)由已知得f(x)=x-1,x≤2,3x-5,x>2. 當x≤2時,由f(x)=x-1≤-1, 解得x≤0,此時x≤0; 當x>2時,由f(x)=3x-5≤-1, 解得x≤43,顯然不成立. 故f(x)≤-1的解集M={x|x≤0}. (2)證明:當x∈M時,f(x)=x-1, 于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14. 令g(x)=-x-122+14, 則函數(shù)g(x)在(-∞,0]上是增函數(shù), ∴g(x)≤g(0)=0, 故x[f(x)]2-x2f(x)≤0. 5.解:(1)f(x+1)≥0?m-|x-1|≥0?1-m≤x≤1+m, 由f(x+1)≥0的解集為[0,2],可知m=1. (2)證明:由(1)知1a+12b+13c=1,則 a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c≥3+6=9, 當且僅當a=2b=3c時等號成立. 6.解:(1)當x≥3時,|x-3|<x+1?x-3<x+1?-3<1恒成立,所以x≥3; 當x<3時,|x-3|<x+1?3-x<x+1?x>1, 所以1<x<3.綜上可知,不等式f(x)<x+1的解集M={x|x>1}. (2)證明:(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2) =(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2 =(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1), 因為a,b∈M,所以a>1,b>1, 因此a2>1,b2>1,所以a2-1>0,b2-1>0, 所以(a2-1)(b2-1)>0, 所以(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2成立. 7.解:(1)由題可得f(x)=-1,x<0,2x-1,0≤x≤1,1,x>1, 所以f(x)max=1,所以|m-1|≤1,解得0≤m≤2, 所以實數(shù)m的取值范圍為[0,2]. (2)證明:由(1)知,M=2,所以x2+y2=2. 因為x>0,y>0, 所以要證x+y≥2xy,只需證(x+y)2≥4x2y2, 即證2(xy)2-xy-1≤0,即證(2xy+1)(xy-1)≤0. 因為2xy+1>0,所以只需證xy≤1, 因為2xy≤x2+y2=2,所以xy≤1成立,所以x+y≥2xy. 8.解:(1)證明:因為-a<b2, 所以f(x)=-3x-a+b,x<-a,-x+a+b,-a≤x≤b2,3x+a-b,x>b2, 顯然f(x)在-∞,b2上單調(diào)遞減,在b2,+∞上單調(diào)遞增, 所以f(x)的最小值為fb2=a+b2=1,即2a+b=2. (2)因為a+2b≥tab恒成立,所以a+2bab≥t恒成立. 因為a+2bab=1b+2a=121b+2a(2a+b)=125+2ab+2ba≥92, 當且僅當a=b=23時,a+2bab取得最小值92, 所以t≤92,即實數(shù)t的最大值為92.