高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1_4 空間圖形的基本關系與公理 第二課時 公理4與等角定理高效測評 北師大版必修2

2016-2017學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步1.4 空間圖形的基本關系與公理 第二課時公理4與等角定理高效測評 北師大版必修2 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列結論正確的是(　　) ①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行； ②平行于同一條直線的兩條直線平行； ③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交； ④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③　　　　　　　　　 B．②④ C．③④ D．②③ 解析：?、馘e，可以異面．②正確．③錯誤，和另一條可以異面．④正確，由平行直線的傳遞性可知． 答案：　B 2．兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形(　　) A．全等 B．相似 C．僅有一個角相等 D．無法判斷 解析：　由題意知，這兩個三角形的三個角對應相等，故這兩個三角形相似． 答案：　B 3．如圖，α∩β＝l，aα，bβ，且a，b為異面直線，則以下結論正確的是(　　) A．a，b都與l平行 B．a，b中至多有一條與l平行 C．a，b都與l相交 D．a，b中至多有一條與l相交 解析：　如果，a，b都與l平行，根據(jù)公理4，有a∥b，這與a，b為異面直線矛盾，故a，b中至多有一條與l平行． 答案：　B 4．已知空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則下列判斷正確的是(　　) A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD) C．MN＝(AC＋BD) D．MN＜(AC＋BD) 解析：　如圖，取BC的中點H，據(jù)題意有MH＝AC，MH∥AC，HN＝BD，HN∥BD.在△MNH中，由兩邊之和大于第三邊知，MN＜MH＋HN＝(AC＋BD) . 答案：　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線． (1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同； (2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反． 解析：　(1)因為B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同． (2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反． 答案：　(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1 6．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點，且＝＝.若BD＝6 cm，梯形EFGH的面積為28 cm2，則平行線EH，F(xiàn)G間的距離為________． 解析：　在△BCD中，∵＝＝， ∴GF∥BD，＝.∴FG＝4 cm. 在△ABD中，∵點E，H分別是AB，AD的中點， ∴EH＝BD＝3(cm)． 設EH，F(xiàn)G間的距離為d cm.則(4＋3)d＝28，∴d＝8. 答案：　8 cm 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，求證： (1)∠ABC＝∠A1B1C1； (2)∠A1D1A＝∠B1C1B. 證明：　(1)如下圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，由長方體的性質可得：A1B1∥AB，BC∥B1C1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1. (2)如上圖在長方體ABCD－A1B1C1D1中， 由長方體的性質可得：D1C1綊AB， ∴四邊形ABC1D1為平行四邊形． ∴AD1∥BC1且A1D1∥B1C1，并且方向相同， ∴∠A1D1A＝∠B1C1B. 8．直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90，D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點．若BC＝CA＝CC1＝2，求異面直線BD1與AF1所成的角． 解析：　取BC中點G，連接F1G，AG，D1F1，則D1F1∥B1C1且D1F1＝B1C1， 又∵B1C1綊BC，G為BC的中點． ∴D1F1綊BG， ∴四邊形D1F1GB是平行四邊形， ∴BD1∥F1G， ∴∠AF1G(或其補角)為異面直線BD1與AF1所成的角． 在Rt△ACG中，AG＝＝＝. 同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝. 又BD1＝GF1，故△AGF1是等邊三角形，∴∠AF1G＝60， ∴異面直線BD1與AF1所成的角是60. ☆☆☆ 9．(10分)如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點． (1)求證：E、F、G、H四點共面； (2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD. 證明：　(1)在△ABD中， ∵E、H分別是AB、AD的中點， EH∥BD，同理FG∥BD， ∴EH∥FG，∴E、F、G、H四點共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又∵四邊形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.