高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評7 橢圓的簡單幾何性質 新人教A版選修1-1

【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評7 橢圓的簡單幾何性質 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是(　　) A．5,3，　　　　　　　 B．10,6， C．5,3， D．10,6， 【解析】　橢圓方程可化為＋＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴長軸長2a＝10，短軸長2b＝6， 離心率e＝＝.故選B. 【答案】　B 2．若焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率為，則m等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵橢圓焦點在x軸上， ∴0＜m＜2，a＝，c＝， e＝＝＝. 故＝，∴m＝. 【答案】　B 3．中心在原點，焦點在x軸，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】　因為2a＝18,2c＝2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程為＋＝1. 【答案】　A 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩頂點為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由題意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的橢圓的離心率為.故選B. 【答案】　B 5．設e是橢圓＋＝1的離心率，且e∈，則實數k的取值范圍是(　　) A．(0,3) B. C．(0,3)∪ D．(0,2) 【解析】　當焦點在x軸上時，e2＝＝∈， 解得0＜k＜3. 當焦點在y軸上時， e2＝＝∈， 解得k＞.綜上可知選C. 【答案】　C 二、填空題 6．已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為________. 【導學號：26160036】 【解析】　由題意得 解得 ∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 【答案】?。?或＋＝1 7．若橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為________． 【解析】　若焦點在x軸上，則＝1－2＝，k＝；若焦點在y軸上，則＝，∴k＝－3. 【答案】　或－3 8．(2016臺州高二檢測)若橢圓的兩焦點為F1(－4,0)，F2(4,0)，點P在橢圓上，且△PF1F2的最大面積是12，則橢圓的短半軸長為________． 【解析】　設P點到x軸的距離為h，則 S△PF1F2＝|F1F2|h， 當P點在y軸上時，h最大，此時S△PF1F2最大， ∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3. 【答案】　3 三、解答題 9．橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，離心率e＝，焦點到橢圓上點的最短距離為2－，求橢圓的方程． 【解】　因為橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短，∴a－c＝2－.又e＝＝， ∴a＝2，c＝，b2＝1， ∴橢圓的方程為＋x2＝1. 10.如圖2－1－3所示，F1，F2分別為橢圓的左，右焦點，M為橢圓上一點，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30.試求橢圓的離心率． 圖2－1－3 【解】　設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c.因為MF2⊥F1F2，所以△MF1F2為直角三角形． 又∠MF1F2＝30， 所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|. 而由橢圓定義知|MF1|＋|MF2|＝2a， 因此|MF1|＝，|MF2|＝， 所以2c＝，即＝， 即橢圓的離心率是. [能力提升] 1．(2016長沙一模)已知P是橢圓上一定點，F1，F2是橢圓的兩個焦點，若∠PF1F2＝60，|PF2|＝|PF1|，則橢圓的離心率為(　　) A. B.－1 C．2－ D．1－ 【解析】　由題意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.點P在橢圓上，由橢圓的定義可得e＝＝＝＝＝－1. 【答案】　B 2．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為(　　) A．2　　　　B．3 C．6　　　　D．8 【解析】　由題意得F(－1,0)， 設點P(x0，y0)， 則y＝3(－2≤x0≤2)， ＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2， 當x0＝2時，取得最大值為6. 故選C. 【答案】　C 3．橢圓的焦點在y軸上，一個焦點到長軸的兩端點的距離之比是1∶4，短軸長為8，則橢圓的標準方程是________. 【導學號：26160037】 【解析】　由題意得＝，解得c＝a.又短軸長為2b，則2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，則a2＝25.故橢圓的標準方程為＋＝1. 【答案】?。? 4．(2014安徽高考)設F1，F2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|BF1|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率． 【解】　(1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1. 因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)設|BF1|＝k，則k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由橢圓定義可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0， 而a＋k>0，故a＝3k， 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2為等腰直角三角形． 從而c＝a，所以橢圓E的離心率e＝＝.