高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)5 全稱量詞與存在量詞 新人教A版選修1-1

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)5 全稱量詞與存在量詞 新人教A版選修1-1 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．下列命題是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是(　　) A．有一個(gè)x∈R，使得x2＞3 B．對(duì)有些x∈R，使得x2＞3 C．任選一個(gè)x∈R，使得x2＞3 D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2＞3 【答案】　C 2．下列四個(gè)命題中，既是全稱命題又是真命題的是(　　) A．斜三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＞0 C．任意無(wú)理數(shù)的平方必是無(wú)理數(shù) D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使＞2 【解析】　只有A，C兩個(gè)選項(xiàng)中的命題是全稱命題，且A顯然為真命題．因?yàn)槭菬o(wú)理數(shù)，而()2＝2不是無(wú)理數(shù)，所以C為假命題． 【答案】　A 3．給出四個(gè)命題：①末位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實(shí)數(shù)x，x＞0；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,2x＋1是奇數(shù)．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．四個(gè)命題都是真命題 B．①②是全稱命題 C．②③是特稱命題 D．四個(gè)命題中有兩個(gè)是假命題 【答案】　C 4．(2014湖南高考)設(shè)命題p：?x∈R，x2＋1>0，則p為(　　) A．?x0∈R，x＋1>0　　 B．?x0∈R，x＋1≤0 C．?x0∈R，x＋1<0 D．?x∈R，x2＋1≤0 【解析】　根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題知B正確． 【答案】　B 5．下列四個(gè)命題： p1：?x∈(0，＋∞)，x＜x； p2：?x∈(0,1)，x＞x； p3：?x∈(0，＋∞)，x＞x； p4：?x∈，x＜x. 其中的真命題是(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【解析】　取x＝， 則x＝1，x＝log32＜1，p2正確． 當(dāng)x∈時(shí)，x＜1，而x＞1，p4正確． 【答案】　D 二、填空題 6．(2016大同二診)已知命題p：“?x0∈R，sin x0>1”，則p為_(kāi)_______． 【解析】　根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，并結(jié)合不等式符號(hào)的變化即可得出p為?x∈R，sin x≤1. 【答案】　?x∈R，sin x≤1 7．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是________． 【解析】　由題意知，0<a2－1<1， ∴即解得 ∴1<a<或－<a<－1. 【答案】　(－，－1)∪(1, ) 8．若“?x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160023】 【解析】　由于“?x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值集合就是二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}． 【答案】　[1，＋∞) 三、解答題 9．判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，若是，用符號(hào)表示，并判斷其真假． (1)有一個(gè)實(shí)數(shù)α，使sin2α＋cos2α≠1； (2)任何一條直線都存在斜率； (3)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解； (4)存在實(shí)數(shù)x0，使得x0≤0. 【解】　(1)是一個(gè)特稱命題，用符號(hào)表示為：?α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命題． (2)是一個(gè)全稱命題，用符號(hào)表示為：?直線l，l都存在斜率，假命題． (3)是一個(gè)全稱命題，用符號(hào)表示為：?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命題． (4)是一個(gè)特稱命題，用符號(hào)表示為：?x0∈R，使得x0≤0，真命題． 10．判斷下列命題的真假，并寫(xiě)出這些命題的否定： (1)三角形的內(nèi)角和為180； (2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向下； (3)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形． 【解】　(1)是全稱命題且為真命題． 命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180，即存在一個(gè)三角形其內(nèi)角和不等于180. (2)是全稱命題且為假命題． 命題的否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口不向下． (3)是特稱命題且為真命題． 命題的否定：任意一個(gè)四邊形都是平行四邊形． [能力提升] 1．(2015浙江高考)命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　) A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0 【解析】　寫(xiě)全稱命題的否定時(shí)，要把量詞?改為?，并且否定結(jié)論，注意把“且”改為“或”． 【答案】　D 2．(2015合肥二模)已知命題p：?x∈R,2x<3x，命題q：?x0∈R，x＝1－x，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧(q) C．(p)∧q D．(p)∧(q) 【解析】　對(duì)于命題p，當(dāng)x＝0時(shí)，20＝30＝1，所以命題p為假命題，p為真命題；對(duì)于命題q，作出函數(shù)y＝x3與y＝1－x2的圖象，可知它們?cè)?0,1)上有一個(gè)交點(diǎn)，所以命題q為真命題，所以(p)∧q為真命題，故選C. 【答案】　C 3．(2016西城期末)已知命題p：?x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　因?yàn)槊}p是假命題，所以p為真命題，即?x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，x>－，不滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，要使不等式恒成立，則有 即解得所以a>，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 【答案】　 4．(2016日照高二檢測(cè))已知p：?x∈R,2x>m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160024】 【解】　2x>m(x2＋1)可化為mx2－2x＋m<0. 若p：?x∈R,2x>m(x2＋1)為真， 則mx2－2x＋m<0對(duì)任意的x∈R恒成立． 當(dāng)m＝0時(shí)，不等式可化為－2x<0，顯然不恒成立； 當(dāng)m≠0時(shí)，有m<0，Δ＝4－4m2<0，所以m<－1. 若q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0為真， 則方程x＋2x0－m－1＝0有實(shí)根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 又p∧q為真，故p，q均為真命題． 所以m<－1且m≥－2，所以－2≤m<－1.