高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測評7 反證法 新人教A版選修1-2

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測評7 反證法 新人教A版選修1-2 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 一、選擇題 1．用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是(　　) A．有兩個內(nèi)角是鈍角 B．有三個內(nèi)角是鈍角 C．至少有兩個內(nèi)角是鈍角 D．沒有一個內(nèi)角是鈍角 【解析】　“最多有一個”的反設(shè)是“至少有兩個”，故選C. 【答案】　C 2．下列命題錯誤的是(　　) A．三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60 B．四面體的三組對棱都是異面直線 C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個零點 D．設(shè)a，b∈Z，若a，b中至少有一個為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù) 【解析】　a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)，故D錯誤． 【答案】　D 3．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定正確的為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：19220029】 A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 【解析】　自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數(shù)；(2)2個奇數(shù)，1個偶數(shù)；(3)1個奇數(shù)，2個偶數(shù)；(4)3個都是偶數(shù)．所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)． 【答案】　D 4．設(shè)x，y，z都是正實數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個數(shù)(　　) A．至少有一個不大于2 B．都小于2 C．至少有一個不小于2 D．都大于2 【解析】　若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，① 而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，② 顯然①，②矛盾，所以C正確． 【答案】　C 5．(2016溫州高二檢測)用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①A＋B＋C＝90＋90＋C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，A＝B＝90不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A，B，C中有兩個直角，不妨設(shè)A＝B＝90，正確順序的序號為(　　) A．①②③　 B．①③② C．②③① D．③①② 【解析】　根據(jù)反證法的步驟，應(yīng)該是先提出假設(shè)，再推出矛盾，最后否定假設(shè)，從而肯定結(jié)論． 【答案】　D 二、填空題 6．(2016南昌高二檢測)命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________． 【解析】　“至少有一個”的否定是“沒有一個”． 【答案】　任意多面體的面沒有一個是三角形或四邊形或五邊形 7．(2016汕頭高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________． 【解析】　與的關(guān)系有三種情況：>，＝和<，所以“>”的反設(shè)應(yīng)為“＝或<”． 【答案】?。交?lt; 8．(2016石家莊高二檢測)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2. 其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號)． 【解析】　若a＝，b＝，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出． 若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出． 對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1. 反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1. 【答案】　③ 三、解答題 9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明：a，b，c至少有一個不小于1. 【導(dǎo)學(xué)號：19220030】 【證明】　假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3. 而與a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假設(shè)不成立，即a，b，c至少有一個不小于1. 10．已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證： ， ， 不成等差數(shù)列． 【證明】　假設(shè)， ， 成等差數(shù)列，則＋＝2，兩邊同時平方得a＋c＋2＝4b. 把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列，這與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾． 所以， ， 不成等差數(shù)列． [能力提升] 1．有以下結(jié)論： ①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2； ②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1. 下列說法中正確的是(　　) A．①與②的假設(shè)都錯誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤 D．①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確 【解析】　用反證法證題時一定要將對立面找準(zhǔn)．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2，故①的假設(shè)是錯誤的，而②的假設(shè)是正確的． 【答案】　D 2．已知命題“在△ABC中，A≠B.求證sin A≠sin B”．若用反證法證明，得出的矛盾是(　　) A．與已知條件矛盾 B．與三角形內(nèi)角和定理矛盾 C．與已知條件矛盾且與三角形內(nèi)角和定理矛盾 D．與大邊對大角定理矛盾 【解析】　證明過程如下：假設(shè)sin A＝sin B，因為0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B與A≠B矛盾；A＋B＝π與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)不成立．所以sin A≠sin B. 【答案】　C 3．(2016九江高二檢測)有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是________． 【解析】　因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說的對，同時甲、乙中只有一人說的對，假設(shè)乙說的對，這樣丙就說的錯，丁就說的對，也就是甲也說的對，與甲說的錯矛盾，所以乙說的錯，從而知甲、丙說的對，所以丙為獲獎歌手． 【答案】　丙 4．(2016溫州高二檢測)設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． 【證明】　假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．① 因為{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q， 所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1. 代入①并整理，得 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1 ＝anbn， 即2＝＋.② 當(dāng)p，q異號時，＋<0，與②相矛盾； 當(dāng)p，q同號時，由于p≠q， 所以＋>2，與②相矛盾． 故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．