高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù) 第33課時 冪函數(shù)課時作業(yè) 新人教B版必修1
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高中數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù) 第33課時 冪函數(shù)課時作業(yè) 新人教B版必修1
第33課時 冪函數(shù)
課時目標(biāo)
1.通過實例,了解冪函數(shù)的概念.
2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象,了解它們的變化情況及簡單性質(zhì).
3.會用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡單問題.
識記強化
1.一般地,形如y=xα(α∈R)的函數(shù)叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).
2.冪函數(shù)隨著α的取值不同,它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同,但它們有一些共同的性質(zhì):
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,并且圖象都通過點(1,1);
(2)如果α>0,則冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間0,+∞)上是增函數(shù).
(3)如果α<0,則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨于原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸,當(dāng)x趨向于+∞時,圖象在x軸上方無限地逼近x軸.
(4)如果冪函數(shù)的圖象過第三象限,則一定過點(-1,-1).
課時作業(yè)
(時間:45分鐘,滿分:90分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.在函數(shù)①y=,②y=x2,③y=2x,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=x中,是冪函數(shù)的是( )
A.①②④⑤ B.③④⑥
C.①②⑥ D.①②④⑤⑥
答案:C
解析:冪函數(shù)是形如y=xα(α∈R,α為常數(shù))的函數(shù),①是α=-1的情形,②是α=2的情形,⑥是α=-的情形,所以①②⑥都是冪函數(shù);③是指數(shù)函數(shù),不是冪函數(shù);⑤中x2的系數(shù)是2,所以不是冪函數(shù);④是常函數(shù),不是冪函數(shù).所以只有①②⑥是冪函數(shù).
2.已知函數(shù)f(x)=(a2-a-1)x為冪函數(shù),則實數(shù)a的值為( )
A.-1或2 B.-2或1
C.-1 D.1
答案:C
解析:因為f(x)=(a2-a-1)x為冪函數(shù),所以a2-a-1=1,即a=2或-1.又a-2≠0,所以a=-1.
3.冪函數(shù)f(x)=x的大致圖象為( )
答案:B
解析:由于f(0)=0,所以排除C,D選項,而f(-x)=(-x)===x=f(x),且f(x)的定義域為R,所以f(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱.故選B.
4.設(shè)a=(),b=(),c=(),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
答案:B
解析:∵f(x)=()x在R上為減函數(shù),∴()<(),即a<b;∵f(x)=x在(0,+∞)上為增函數(shù),∴()>(),即a>c.∴b>a>c.
5.函數(shù)f(x)=x+的定義域為( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)
答案:D
解析:由已知,得??0<x<1或x>1,所以f(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞).
6.當(dāng)x∈(1,+∞)時,函數(shù)y=xa的圖象恒在直線y=x的下方,則a的取值范圍是( )
A.0<a<1 B.a(chǎn)<0
C.a(chǎn)<1,且a≠0 D.a(chǎn)>1
答案:C
解析:如圖(1)所示,當(dāng)0<a<1時,對于x∈(1,+∞),y=xa的圖象恒在直線y=x的下方;如圖(2)所示,當(dāng)a<0時,對于x∈(1,+∞),y=xa的圖象也符合條件.
二、填空題(本大題共3個小題,每小題5分,共15分)
7.若α∈R,函數(shù)f(x)=(x-1)α+3的圖象恒過定點P,則點P的坐標(biāo)為________.
答案:(2,4)
解析:令x-1=1,得x=2,∴f(2)=1α+3=4,所以f(x)=(x-1)α+3的圖象恒過定點(2,4),即點P的坐標(biāo)為(2,4).
8.已知冪函數(shù)f(x)=x (m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的解析式為________.
答案:f(x)=x4
解析:因為冪函數(shù)f(x)=x (m∈Z)為偶函數(shù),所以-m2+2m+3為偶數(shù).又f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3.又m∈Z,-m2+2m+3為偶數(shù),所以m=1,故所求解析式為f(x)=x4.
9.函數(shù)y=(mx2+4x+2)+(x2-mx+1)的定義域是全體實數(shù),則m的取值范圍是________.
答案:m>2
解析:要使y=(mx2+4x+2) +(x2-mx+1)的定義域是全體實數(shù),則需mx2+4x+2>0對一切實數(shù)都成立,即所以解得m>2.
故m的取值范圍是m>2.
三、解答題(本大題共4小題,共45分)
10.(12分)將下列各組數(shù)從小到大排列起來.
(1)2.5,(-1.4),(-);
(2)4.5,3.8,(-1.9);
(3)0.16,0.5,6.25.
解:(1)∵(-1.4)=1.4>0,(-)<0,
又y=x在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴(-)<(-1.4)<2.5.
(2)∵4.5>1,0<3.8<1,(-1.9)<0,
∴(-1.9)<3.8<4.5.
(3)0.16=0.4,6.25=2.5=(),
又∵y=x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且>0.5>0.4,
∴6.25<0.5<0.16.
11.(13分)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點P(8,).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的值域;
(3)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
解:(1)設(shè)f(x)=xα.
∵f(x)的圖象過點P(8,),
∴8α=,即23α=2-1,
∴3α=-1,即a=-,
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x (x≠0).
(2)∵f(x)=x=,x≠0,∴y≠0,
∴f(x)的值域為(-∞,0)∪(0,+∞).
(3)∵f(-x)=(-x) ==-=-f(x),
又f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱,∴f(x)是奇函數(shù).
能力提升
12.(5分)已知冪函數(shù)y=x,y=x,y=x,y=x在第一象限內(nèi)的圖象分別是圖中的C1、C2、C3、C4,則n1、n2、n3、n4的大小關(guān)系是( )
A.n1>n2>1,n3<n4<0
B.n1>n2>1,n4<n3<0
C.n1>1>n2>0>n4>n3
D.n1>1>n2>0>n3>n4
答案:D
解析:直接根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果,也可過(1,1)點作垂直于x軸的直線,在該直線的右側(cè),自上而下冪函數(shù)的指數(shù)依次減?。?
13.(15分)已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=2x-k.
(1)求m的值;
(2)當(dāng)x∈1,2]時,記f(x),g(x)的值域分別為集合A,B,若A∪B=A,求實數(shù)k的取值范圍.
解:(1)依題意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
當(dāng)m=2時,f(x)=x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞減,與題設(shè)矛盾,舍去,∴m=0.
(2)由(1),可知f(x)=x2.
當(dāng)x∈1,2]時,f(x),g(x)均為單調(diào)遞增,
∴A=1,4],B=2-k,4-k].
∵A∪B=A,∴B?A,
∴?0≤k≤1.
∴實數(shù)k的取值范圍是0,1].