（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級練（六）解三角形 理

能力升級練(六)解三角形一、選擇題1.在ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則BAC=()A.6B.3C.23D.56解析在ABC中,設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cosBAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,由A(0,),得A=23,即BAC=23.答案C2.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,則b=()A.2B.3C.2D.3解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13(舍去).答案D3.已知ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊長分別為a,b,c,若A=3,b=2acos B,c=1,則ABC的面積等于()A.32B.34C.36D.38解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sin3=3,又B(0,),所以B=3,則ABC是正三角形,所以SABC=12bcsinA=34.答案B4.在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則ABC的形狀一定是()A.等邊三角形B.不含60°的等腰三角形C.鈍角三角形D.直角三角形解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,則有A+B=2,故三角形為直角三角形.答案D5.(2019廣東深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測繪,測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°,則塔高為()A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m解析如圖所示.在RtACD中可得CD=20033=BE,在ABE中,由正弦定理得ABsin30°=BEsin60°,則AB=2003,所以DE=BC=200-2003=4003(m).答案A6.在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分別為角A,B,C的對邊),則ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因為cos2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=ac,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2.所以ABC為直角三角形.答案B7.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,則ABC的面積為()A.33B.233C.36D.433解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC0,sinA=12.又b2+c2-a2=8,cosA=b2+c2-a22bc=4bc,則cosA>0.cosA=32,即4bc=32,則bc=833.ABC的面積S=12bcsinA=12×833×12=233.答案B8.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里解析如圖所示,易知,在ABC中,AB=20,CAB=30°,ACB=45°,根據(jù)正弦定理,得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=102(海里).答案A9.(2019山東濟(jì)寧模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,則c=()A.2B.3C.4D.6解析在ABC中,A=3,b=6,a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,又3sin2CcosC=2sinAsinB,3c2cosC=2ab,即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,a2+36=4c2,由解得c=4或c=-6(不合題意,舍去).c=4.答案C二、填空題10.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為米. 解析連接OC,由題意知CD=150米,OD=100米,CDO=60°.在COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507.答案50711.在ABC中,角A,B,C的對邊a,b,c成等差數(shù)列,且A-C=90°,則cos B=. 解析a,b,c成等差數(shù)列,2b=a+c,2sinB=sinA+sinC.A-C=90°,2sinB=sin(90°+C)+sinC,2sinB=cosC+sinC,2sinB=2sin(C+45°).A+B+C=180°且A-C=90°,C=45°-B2,代入式中,2sinB=2sin90°-B2,2sinB=2cosB2,4sinB2cosB2=2cosB2,sinB2=24,cosB=1-2sin2B2=1-14=34.答案3412.如圖,在ABC中,B=45°,D是BC邊上一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,則AB=. 解析在ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×7×3=1114,則sinC=5314.在ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,則AB=ACsinCsinB=7×531422=562.答案56213.在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且B為銳角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,SABC=574,則b的值為. 解析由sinAsinB=5c2b及正弦定理,得ab=5c2b,即a=52c,由SABC=12acsinB=574,sinB=74,得12ac=5,聯(lián)立,得a=5,c=2.由sinB=74且B為銳角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,b=14.答案14三、解答題14.如圖,航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m,速度為50 m/s.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜?(取21.4,31.7)解如圖,作CD垂直于線段AB的延長線于點(diǎn)D,由題意知A=15°,DBC=45°,所以ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在ABC中,BCsinA=ABsinACB,所以BC=2100012×sin15°=10500(6-2).因為CDAD,所以CD=BC·sinDBC=10500(6-2)×22=10500(3-1)7350(m).故山頂?shù)暮０胃叨葹?0000-7350=2650(m).15.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=6,求A,C;(2)若C=23,c=14,求SABC.解(1)由已知B=6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理,得sin2A-sinAsin6-2sin26=0,化簡整理,得2sin2A-sinA-1=0,于是sinA=1或sinA=-12(舍).因為0<A<,所以A=2,又A+B+C=,所以C=-2-6=3.(2)由題意及余弦定理可知a2+b2-2abcos23=196,即a2+b2+ab=196,由a2-ab-2b2=0,得(a+b)(a-2b)=0,因為a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,聯(lián)立解得b=27,a=47.所以SABC=12absinC=143.9