高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題8 概率與統(tǒng)計 第33練 用樣本估計總體 文

第33練用樣本估計總體題型分析高考展望用樣本估計總體在高考中也是熱點部分，考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題，重點是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征，屬于比較簡單的題目體驗高考1(2015湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：13003456688891411122233445556678150122333若將運動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139,151上的運動員人數(shù)是()A3 B4 C5 D6答案B解析由題意知，將135號分成7組，每組5名運動員，成績落在區(qū)間139,151的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名選B.2(2015課標(biāo)全國)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D解析從2006年起，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確；2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，即C選項正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項錯誤故選D.3(2016課標(biāo)全國丙)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是()A各月的平均最低氣溫都在0 以上B七月的平均溫差比一月的平均溫差大C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D平均最高氣溫高于20 的月份有5個答案D解析由題意知，平均最高氣溫高于20 的有六月，七月，八月，故選D.4(2016山東)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根據(jù)頻率分布直方圖知，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A56 B60 C120 D140答案D解析由題圖知，組距為2.5，故每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為(0.160.080.04)2.50.7，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是2000.7140，故選D.5(2015湖北)某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中的a_；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為_答案(1)3(2)6 000解析(1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.20.10.80.11.50.120.12.50.1a0.11，解得a3.(2)消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)頻率為0.20.10.80.120.130.10.6，所以消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.610 0006 000.高考必會題型題型一頻率分布直方圖的應(yīng)用例1(2015廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得x0.007 5，所以直方圖中x的值是0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是230.因為(0.0020.009 50.011)200.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，得a224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為220,240)的用戶有0.012 52010025(戶)，月平均用電量為240,260)的用戶有0.007 52010015(戶)，月平均用電量為260,280)的用戶有0.0052010010(戶)，月平均用電量為280,300的用戶有0.002 5201005(戶)，抽取比例，所以月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取255(戶)點評利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值(2)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和(3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)變式訓(xùn)練1某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機抽出60名學(xué)生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試中的平均分解(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.0100.01520.0250.005)10x1，可得x0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示(2)平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.即估計本次考試中的平均分為71分題型二莖葉圖的應(yīng)用例2(1)為了檢查某高三畢業(yè)班學(xué)生的體重狀況，從該班隨機抽取了10位學(xué)生進(jìn)行稱重，如圖為10位學(xué)生體重的莖葉圖，其中圖中左邊是體重的十位數(shù)字，右邊是個位數(shù)字，則這10位學(xué)生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為()A0.1 B0.2C0.3 D0.4(2)在“某市中學(xué)生歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A5和1.6 B85和1.6C85和0.4 D5和0.4答案(1)C(2)B解析(1)平均數(shù)為54.8，中位數(shù)為(5356)54.5，這10位學(xué)生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為：54854.50.3.故選C.(2)(44467)8085，所以s23(8485)2(8685)2(8785)21.6，故選B.點評由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等變式訓(xùn)練2(1)某公司將職員每月的工作業(yè)績用130的自然數(shù)表示，甲、乙兩職員在2010年18月份的工作業(yè)績的莖葉圖如圖，則下列說法正確的是()A兩職員的平均業(yè)績相同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定B兩職員的平均業(yè)績不同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定C兩職員的平均業(yè)績相同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定D兩職員的平均業(yè)績不同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定(2)如圖為甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況的莖葉圖，則甲和乙得分的中位數(shù)的和是()A56 B57 C58 D59答案(1)C(2)B解析(1)由莖葉圖可得：甲(1215182020222528)20，乙(1415171921232526)20，s(82522200225282)，s(62523211325262)，由平均數(shù)和方差可知，兩職員的平均業(yè)績相同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定(2)由莖葉圖知，甲共13個數(shù)據(jù)，中間的一個是32，乙共11個數(shù)據(jù)，中間的一個是25，所以甲和乙得分的中位數(shù)的和為57，故選B.題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A57.2,3.6 B57.2,56.4C62.8,63.6 D62.8,3.6(2)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下列結(jié)論中錯誤的是_(填序號)甲的極差是29；乙的眾數(shù)是21；甲罰球命中率比乙高；甲的中位數(shù)是24.答案(1)D(2)解析(1)設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1，x2，xn，則(x1x2xn)，方差為s2(x1)2(xn)2，每一組數(shù)據(jù)都加60后，(x1x2xn60n)6062.8，方差s2(x16062.8)2(xn6062.8)2s23.6.(2)由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故對；乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以對；甲的命中個數(shù)集中在20，而乙的命中個數(shù)集中在10和20，所以甲罰球命中率大，故對；甲中間的兩個數(shù)為22,24，所以甲的中位數(shù)為23，故不對故答案應(yīng)填.點評平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小變式訓(xùn)練3甲、乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價解(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高高考題型精練1某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100，若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A45 B50C55 D60答案B解析低于60分的人數(shù)的頻率為0.015200.3，所以該班人數(shù)150.350(人)2某賽季，甲，乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽，他們每場比賽得分的情況用莖葉圖表示，如圖，則甲，乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為()A20,18 B13,19C19,13 D18,20答案C解析中位數(shù)為一組數(shù)據(jù)由小到大排列后位于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為19,13.3如圖是某社區(qū)工會對當(dāng)?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進(jìn)行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖，其中月收入在1.5,2)千元的頻數(shù)為300，則此次抽樣的樣本容量為()A1 000 B2 000C3 000 D4 000答案A解析由頻率分布直方圖，得月收入在1.5,2)千元的頻率為P0.60.50.3，所以此次抽樣的樣本容量為1 000，故選A.4.甲、乙兩同學(xué)用莖葉圖記錄高三前5次數(shù)學(xué)測試的成績，如圖所示，他們在分析對比成績變化時，發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)成績的一個數(shù)字看不清楚了，若已知乙的平均成績低于甲的平均成績，則看不清楚的數(shù)字為()A0 B3C6 D9答案A解析設(shè)看不清的數(shù)字為x，甲的平均成績?yōu)?01，所以<101，x<1，所以x0，故選A.5.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為()A11B11.5C12D12.5答案C解析由頻率分布直方圖，可估計樣本重量的中位數(shù)在第二組，設(shè)中位數(shù)比10大x，由題意可得，0.065x0.10.5，得x2，所以中位數(shù)為12，故選C.6已知兩組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為h，y1，y2，ym的平均數(shù)為k，則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為()A.B.C.D.答案B解析因為樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為h，y1，y2，ym的平均數(shù)為k，所以第一組數(shù)據(jù)和為nh，第二組數(shù)據(jù)和為mk，因此把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為，故選B.7從向陽小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，為制定階梯電價提供數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，制作頻率分布直方圖的工作人員粗心大意，位置t處未標(biāo)明數(shù)據(jù)，你認(rèn)為t等于()A0.004 1 B0.004 2C0.004 3 D0.004 4答案D解析由題意得，50(0.006t0.003 60.002 420.001 2)1，t0.004 4.810名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別為15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()Aa>b>cBb>c>aCc>a>bDc>b>a答案D解析易得a14.7，b15，c17，故選D.9如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲，乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則a1，a2的大小關(guān)系是_(填a1>a2，a2>a1，a1a2)答案a2>a1解析由題意可知，a184，a285，所以a2>a1.10已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差s2(xxxx16)，則數(shù)據(jù)x12，x22，x32，x42的平均數(shù)為_答案4解析由題意4216，2，所以24.11(2016四川)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數(shù)解(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0,0.5)的頻率為0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06，0.04，0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得a0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.1236 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸因為前5組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.73>0.5.而前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.48<0.5.所以2x<2.5.由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04.12(2016北京)某市民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當(dāng)w3時，估計該市居民該月的人均水費解(1)如題圖所示，用水量在0.5,2)的頻率的和為(0.20.30.4)0.50.450.8，用水量在0.5,3)的頻率的和為(0.20.30.40.50.3)0.50.85.用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當(dāng)w3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.110.151.50.220.252.50.153)40.15340.05(3.53)0.05(43)0.05(4.53)107.21.81.510.5(元)即該市居民該月的人均水費估計為10.5元