（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程練習(xí) 文（含解析）新人教A版

第13講函數(shù)與方程夯實(shí)基礎(chǔ)【p32】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1結(jié)合二次函數(shù)的圖象，掌握二次方程根的分布情況；2理解函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)，會(huì)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)【基礎(chǔ)檢測(cè)】1函數(shù)f(x)2x8的零點(diǎn)是()A3 B(3，0) C4 D(4，0)【解析】函數(shù)f(x)的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)0的根，即2x80，x3，故選A.【答案】A2若方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】令fx2axa，方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，則f42aa4a<0，解得a>4.故選A.【答案】A3函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1 C. 2 D. 3【解析】在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)yx與y的圖象，如圖所示，由圖知，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有1個(gè)，故選B.【答案】B4已知f(x)g(x)f(x)xm，若g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是()A1，) B1，0)C0，) D1，)【解析】g(x)f(x)mx有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于f(x)mx0有兩個(gè)根，即yf(x)與yxm有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出yf(x)與yxm的圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)yxm在y軸的截距不大于1時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即m1，m1，m的取值范圍是1，)，故選A.【答案】A【知識(shí)要點(diǎn)】1二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系>00<0圖象與x軸的交點(diǎn)_(x1，0)，(x2，0)_(x1，0)_無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)_2_1_0_2.函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：對(duì)于函數(shù)yf(x)，我們把使_f(x)0_的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)函數(shù)有零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)0有_實(shí)根_函數(shù)yf(x)的圖象與_x軸_有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)有零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是_連續(xù)不斷_的一條曲線，并且有_f(a)·f(b)0_，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間_(a，b)_內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得_f(c)0_，這個(gè)c也就是方程f(x)0的_根_典 例 剖 析【p33】考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間的判定和求解(1)函數(shù)fln xx4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B.C. D.【解析】函數(shù)fln xx4，滿足f1e4e30，fln 310，由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)fln xx4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選C.【答案】C(2)若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi)【解析】因?yàn)閒(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.【答案】A(3)函數(shù)f(x)x23x18在區(qū)間1，8上_(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn)【解析】法一：f(1)123×11820<0，f(8)823×81822>0，f(1)·f(8)<0，又f(x)x23x18在區(qū)間1，8上的圖象是連續(xù)的，故f(x)x23x18在區(qū)間1，8上存在零點(diǎn)法二：令f(x)0，得x23x180，(x6)(x3)0.x61，8，x31，8，f(x)x23x18在區(qū)間1，8上存在零點(diǎn)【答案】存在【小結(jié)】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的2種常用方法：(1)定義法：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)yf(x)必須在區(qū)間a，b上是連續(xù)的，當(dāng)f(a)·f(b)<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(2)圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)考點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和求解(1)函數(shù)f2x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3【解析】在同一直角坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y2x和y的圖象，如圖所示函數(shù)f2x的零點(diǎn)等價(jià)于2x的根，等價(jià)于函數(shù)y2x和y的交點(diǎn)由圖可知，有一個(gè)交點(diǎn)，所以有一個(gè)零點(diǎn)故選B.【答案】B(2)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_【解析】當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22，令x220，得x(舍)或x，即在區(qū)間(，0上，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x6ln x，令2x6ln x0，得ln x62x.作出函數(shù)yln x與y62x在區(qū)間(0，)上的圖象，則兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)2x6ln x(x>0)只有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2.【答案】2【小結(jié)】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法：(1)解方程法：若對(duì)應(yīng)方程f(x)0可解時(shí)，通過解方程，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)3二次函數(shù)的零點(diǎn)問題已知函數(shù)fax22x1.(1)若函數(shù)f有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)f在區(qū)間與上各有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍【解析】(1)函數(shù)f有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ax22x10有兩個(gè)不等實(shí)根，令>0，即44a>0，解得a<1，又a0，所以a的取值范圍為.(2)若函數(shù)在區(qū)間與上各有一個(gè)零點(diǎn)，由f的圖象可知，只需即解得<a<1.【小結(jié)】一元二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，即一元二次方程根的分布問題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象問題，利用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想求解考點(diǎn)4函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(1)已知函數(shù)f(x)ln x3x8的零點(diǎn)x0，且ba1(a，bN)，則ab()A5 B4 C3 D2【解析】因?yàn)閒(x)ln x3x8，可得函數(shù)是(0，)上的增函數(shù)，而且fln 22<0，f(3)ln 31>0，即f(2)f(3)<0，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)x0，且滿足題意，所以a2，b3，即ab5，故選A.【答案】A(2)已知偶函數(shù)f滿足f(x)f(x2)，且當(dāng)x時(shí)，fx2.若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)gfloga有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】由題意知函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間1，3內(nèi)函數(shù)g(x)f(x)loga有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于yf(x)的圖象與yloga的圖象在區(qū)間1，3內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)圖象無交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a>1且解得3<a<5.【答案】【小結(jié)】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的3種方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解【能力提升】設(shè)函數(shù)f若函數(shù)gbfc有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1x2x2x3x1x3等于_. 【解析】由圖(此處令a1，0a1同理可得)可得關(guān)于x的方程ft的解有兩個(gè)或三個(gè)(t1時(shí)有三個(gè)，t1時(shí)有兩個(gè))，所以關(guān)于t的方程t2btc0只能有一個(gè)根t1(若有兩個(gè)根，則關(guān)于x的方程bfc0有四個(gè)或五個(gè)根)，由f1，可得x1，x2，x3的值分別為0，1，2，所以x1x2x2x3x1x30×11×20×22.【答案】2【小結(jié)】本題考查分段函數(shù)的圖象和解析式，函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方 法 總 結(jié)【p33】1解決一元二次方程根的分布問題，先構(gòu)造二次函數(shù)，再作出符合根的分布的二次函數(shù)圖象，由圖象的直觀形象可得出符合根的分布的必要條件，進(jìn)而證明(或?qū)で?它也是其充要條件2利用函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)來研究方程f(x)0的根的分布情況，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)此時(shí)，要構(gòu)造合理的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值的情況判斷其零點(diǎn)情況，但若要知道零點(diǎn)個(gè)數(shù)，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性走 進(jìn) 高 考【p33】1(2018·江蘇)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在1，1上的最大值與最小值的和為_【解析】f(x)6x22ax2x(3xa)(aR)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0在(0，)上恒成立，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(0)1，所以此時(shí)f(x)在(0，)內(nèi)無零點(diǎn)，不滿足題意當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)>0得x>，由f(x)<0得0<x<，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又f(x)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以f10，得a3，所以f(x)2x33x21，則f(x)6x(x1)，當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)maxf(0)1，f(1)4，f(1)0，則f(x)min4，所以f(x)在1，1上的最大值與最小值的和為3.【答案】3- 6 -