（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 新人教B版

2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一利用圖象刻畫實(shí)際問題 1.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)【解析】選A.由題圖可知,2014年8月到9月的月接待游客量在減少,則A選項(xiàng)錯誤,故選A.2.如圖所示,一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a(m)(0<a<12)、4 m,不考慮樹的粗細(xì),現(xiàn)在用16 m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為S(m2),S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花園內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是() 【解析】選C.設(shè)BC=x m,則DC=(16-x)m,由得ax12.矩形面積S=x(16-x)=64.當(dāng)x=8時(shí)取等號.當(dāng)0<a8時(shí),u=f(a)=64;當(dāng)a>8時(shí),由于函數(shù)在a,12上為減函數(shù),所以當(dāng)x=a時(shí),矩形面積取最大值Smax=f(a)=a(16-a).3.某地一年的氣溫Q(t)(單位:)與時(shí)間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示,已知該年的平均氣溫為10,令C(t)表示時(shí)間段0,t的平均氣溫,下列四個函數(shù)圖象中,最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是()【解析】選A.若增加的數(shù)大于當(dāng)前的平均數(shù),則平均數(shù)增大;若增加的數(shù)小于當(dāng)前的平均數(shù),則平均數(shù)減小.因?yàn)?2個月的平均氣溫為10,所以當(dāng)t=12時(shí),平均氣溫應(yīng)該為10,故排除B;因?yàn)樵诳拷?2月份時(shí)其溫度小于10,因此12月份前的一小段時(shí)間內(nèi)的平均氣溫應(yīng)該大于10,排除C;6月份以后增加的溫度先大于平均值后小于平均值,故平均氣溫不可能出現(xiàn)先減小后增加的情況,故排除D.4.(2020·廣州模擬)某罐頭加工廠庫存芒果m(kg),今年又購進(jìn)n(kg)新芒果后,欲將芒果總量的三分之一用于加工芒果罐頭.被加工為罐頭的新芒果最多為f1(kg),最少為f2(kg),則下列選項(xiàng)中最能準(zhǔn)確描述f1,f2分別與n的關(guān)系的是()【解析】選A.要使得被加工為罐頭的新芒果最少,盡量使用庫存芒果,即當(dāng)m,n2m時(shí),f2=0,當(dāng)n>2m時(shí),f2=-m=>0,對照圖象舍去C,D;要使得被加工為罐頭的新芒果最多,則盡量使用新芒果,即當(dāng)n,n時(shí)f1=,當(dāng)>n,n<時(shí)f1=n,因?yàn)?lt;2m,所以A符合題意.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢,驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案.考點(diǎn)二已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題 【典例】1.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN*),若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A.100臺B.120臺C.150臺D.180臺2.某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費(fèi)f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)=已知某家庭2016年前三個月的煤氣費(fèi)如表:月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣,則其煤氣費(fèi)為()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元3.某農(nóng)場種植一種農(nóng)作物,為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量情況,現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位:萬斤)與年份x(記2015年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下:x1234f(x)4.005.627.008.86則f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b;f(x)=2x+a;f(x)=x2+b.則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號是_. 【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由銷售收入不小于總成本,想到銷售收入總成本2由f(x)的解析式考慮用待定系數(shù)法求A,B,C的值3由三個模擬函數(shù)選擇,想到逐個驗(yàn)證求解【解析】1.選C.設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,xN*).令f(x)0,得x150,所以生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是150臺.2.選A. 根據(jù)題意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.3.若模型為,則f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此時(shí)f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為,則f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此時(shí),與表格中的數(shù)據(jù)相差太大,不符合;若模型為,則根據(jù)表中數(shù)據(jù)得解得a=,b=,經(jīng)檢驗(yàn)是最適合的函數(shù)模型.答案:求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題,并進(jìn)行檢驗(yàn).1.(2020·中山模擬)據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位:min)為f(x)=(A,c為常數(shù)).已知某工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30 min,組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15 min,那么c和A的值分別是()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】選D.由題意可知4<A,則解得2.已知一容器中有A,B兩種菌,且在任何時(shí)刻A,B兩種菌的個數(shù)乘積均為定值1010,為了簡單起見,科學(xué)家用PA=lg nA來記錄A菌個數(shù)的資料,其中nA為A菌的個數(shù),現(xiàn)有以下幾種說法:PA1;若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10;假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬,則此時(shí)5<PA<5.5(注:lg 20.3).則正確的說法為_.(寫出所有正確說法的序號) 【解析】當(dāng)nA=1時(shí),PA=0,故錯誤;若PA=1,則nA=10,若PA=2,則nA=100,故錯誤;B菌的個數(shù)為nB=5×104,所以nA=2×105,所以PA=lg nA=lg 2+5.又因?yàn)閘g 20.3,所以5<PA<5.5,故正確.答案:考點(diǎn)三建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題 命題精解讀考什么:(1)閱讀語言文字的能力,實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題之間的轉(zhuǎn)化能力,常見的初等函數(shù),對勾函數(shù),分段函數(shù)的性質(zhì)等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).怎么考:三種題型都有可能考查,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.新趨勢:以現(xiàn)實(shí)問題為載體,函數(shù)與實(shí)際問題、數(shù)與形、函數(shù)性質(zhì)與最值交匯考查.學(xué)霸好方法形如f(x)=x+(a>0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型,“對勾”函數(shù)模型的單調(diào)區(qū)間及最值如下(1)該函數(shù)在(-,-和,+)上單調(diào)遞增,在-,0)和(0,上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)x>0時(shí),x=時(shí)取最小值2,當(dāng)x<0時(shí),x=-時(shí)取最大值-2.初等函數(shù)模型及其應(yīng)用【典例】(2019·馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力,計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入.若該高校2018年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1 300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年【解析】選C.若2019年是第1年,則第n年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)為1 300×1.12n萬元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n4,所以第4年,即2022年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元,故選C.每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,說明每年經(jīng)費(fèi)是上一年的多少倍?提示:說明每年經(jīng)費(fèi)是上一年的1.12倍.對勾函數(shù)模型及其應(yīng)用【典例】為了降低能源損耗,某體育館的外墻需要建造隔熱層,體育館要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0x10,k為常數(shù)),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式.(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小?并求最小值.【解析】(1)當(dāng)x=0時(shí),C=8,所以k=40,所以C(x)=(0x10),所以f(x)=6x+=6x+(0x10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.令3x+5=t,t5,35,則y=2t+-102-10=70(當(dāng)且僅當(dāng)2t=,即t=20時(shí)等號成立),此時(shí)x=5,因此f(x)的最小值為70.所以隔熱層修建5 cm厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,最小值為70萬元.對勾函數(shù)求最值應(yīng)注意什么?提示:對勾函數(shù)求最值一定要注意該函數(shù)的單調(diào)性,然后再求最值.分段函數(shù)模型及其應(yīng)用【典例】(2020·銀川模擬)大氣溫度y()隨著距離地面的高度x(km)的增加而降低,當(dāng)在高度不低于11 km的高空時(shí)氣溫幾乎不變.設(shè)地面氣溫為22,大約每上升1 km大氣溫度降低6,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_. 【解析】由題意知,y是關(guān)于x的分段函數(shù),x=11為分界點(diǎn),易得其解析式為y=答案:y=實(shí)際問題中分段函數(shù)的適用條件是什么?提示:實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出,而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.1.要制作一個容積為16 m3,高為1 m的無蓋長方體容器,已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是_元. 【解析】設(shè)長方體容器底面矩形的長、寬分別為x m,y m,則y=,所以容器的總造價(jià)為z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,由基本不等式得,z=20+20×1640+320=480,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4,即底面是邊長為4 m的正方形時(shí),總造價(jià)最低.答案:4802.(2019·北京高考)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付_元; 在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為_. 【解析】價(jià)格為60+80=140元,達(dá)到120元,少付10元,所以需支付130元.設(shè)促銷前總價(jià)為a元,a120,李明得到金額l(x)=(a-x)×80%0.7a,0x120,即x恒成立,又最小值為=15,所以x最大值為15.答案:130151.(2019·深圳模擬)某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,則本年5月份 ()A.甲食堂的營業(yè)額較高B.乙食堂的營業(yè)額較高C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D.不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高【解析】選A.設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x,由題意可得,m+8a=m×(1+x)8,則5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m×(1+x)4=,因?yàn)?=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高.2.一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(xN*)件.當(dāng)x20時(shí),年銷售總收入為(33x-x2)萬元;當(dāng)x>20時(shí),年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_,該工廠的年產(chǎn)量為_件時(shí),所得年利潤最大(年利潤=年銷售總收入-年總投資). 【解析】年銷售總收入減去年總投資即可得到年利潤,年總投資為(x+100)萬元,故函數(shù)關(guān)系式為y=當(dāng)0<x20時(shí),x=16時(shí)函數(shù)值最大,且最大值為156;當(dāng)x>20時(shí),y<140.故年產(chǎn)量為16件時(shí),年利潤最大.答案:y=16 10