（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第24講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第24講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)夯實(shí)基礎(chǔ)【p50】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象；2理解三角函數(shù)的定義域、值域和最值、奇偶性、單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性；3會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性，會(huì)求簡(jiǎn)單三角函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間及周期；4理解三角函數(shù)的對(duì)稱性，并能應(yīng)用它們解決一些問(wèn)題【基礎(chǔ)檢測(cè)】1函數(shù)ytan2的定義域?yàn)開(kāi)【答案】2函數(shù)y4sin x，x，的單調(diào)性是()A在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)B在上是增函數(shù)，在和上都是減函數(shù)C在0，上是增函數(shù)，在，0上是減函數(shù)D在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】B3下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是()Aycos BysinCysin 2xcos 2x Dysin xcos x【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閥sin 2x，T且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】A4函數(shù)f(x)tan x(>0)的圖象的相鄰兩支截直線y2所得線段長(zhǎng)為，則f的值是()A B.C1 D.【解析】由已知得f(x)的最小正周期為，則，所以2，f(x)tan 2x，所以ftan.【答案】D5使函數(shù)ycos2x3cos x取得最大值的x的集合為_(kāi)【解析】函數(shù)化為y2，其中1cos x1，當(dāng)cos x1時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)x2k，kZ.【答案】x|x2k，kZ【知識(shí)要點(diǎn)】1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖正弦函數(shù)ysin x，x0，2的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0，2的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kZ).函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性為增；為減2k，2k為減；2k，2k為增為增對(duì)稱中心(k，0)對(duì)稱軸xkxk3.yAsin xb(xR)和yAcos xb(xR)的最大值為_(kāi)|A|b_，最小值為_(kāi)|A|b_典 例 剖 析【p50】考點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域和值域(1)函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)【解析】要使函數(shù)有意義，必須有即故函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】(2)求函數(shù)ycos2xsin x的最大值與最小值【解析】令tsin x，|x|，t.yt2t1，當(dāng)t時(shí)，ymax；當(dāng)t時(shí)，ymin.函數(shù)ycos2xsin x的最大值為，最小值為.【點(diǎn)評(píng)】1.三角函數(shù)定義域的2種求法(1)應(yīng)用正切函數(shù)ytan x的定義域求函數(shù)yAtan(x)的定義域(2)轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域2三角函數(shù)最值或值域的3種求法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域(3)換元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)考點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性寫(xiě)出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)sin，x0，；(2)f(x)|tan x|；(3)f(x)cos，x.【解析】(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.又x0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.同理，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)觀察圖象可知，y|tan x|的增區(qū)間是，kZ，減區(qū)間是，kZ.(3)當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk，kZ時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù)因此函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.同理，單調(diào)遞減區(qū)間為，.【點(diǎn)評(píng)】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解(2)圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間【提醒】求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域已知a>0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時(shí)，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間【解析】(1)x，2x，sin1，又a>0，5f(x)1，即(2)f(x)4sin1，f(x)的最小正周期T.由2k2x2k得kxk，kZ，由2k2x2k得kxk，kZ，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為 (kZ)考點(diǎn)3三角函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性(1)已知函數(shù)f(x)sin(>0)的最小正周期為，則函數(shù)f(x)的圖象()A關(guān)于直線x對(duì)稱 B關(guān)于直線x對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【解析】f(x)sin的最小正周期為，2，f(x)sin.當(dāng)x時(shí)，2x，A，C錯(cuò)誤；當(dāng)x時(shí)，2x，D錯(cuò)誤，B正確【答案】B(2)若函數(shù)ycos(N*)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的最小值為()A1 B2 C4 D8【解析】k(kZ)6k2(kZ)min2.【答案】B(3)設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，0<<)的部分圖象如圖所示，KLM為等腰直角三角形，KML90°，KL1，則f的值為()A BC D.【解析】由f(x)為偶函數(shù)，得.點(diǎn)M到x軸的距離是，則A.設(shè)f(x)cos x，又由題圖知·1，所以，所以f(x)cos x，故fcos .【答案】D【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)f(x)Asin(x)的奇偶性和對(duì)稱性(1)若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.(2)對(duì)于函數(shù)yAsin(x)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線xx0或點(diǎn)(x0，0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷方 法 總 結(jié)【p51】1五點(diǎn)法作圖時(shí)要注意五點(diǎn)的選取，一般令x分別取0，2，算出相應(yīng)的x值，再列表、描點(diǎn)、作圖2三角函數(shù)奇偶性的判斷與其他函數(shù)奇偶性的判斷步驟一致：(1)首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)在滿足(1)后，再看f(x)與f(x)的關(guān)系另外三角函數(shù)中的奇函數(shù)一般可化為yAsin x或yAtan x，偶函數(shù)一般可化為yAcos xb的形式3三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間的確定，其基本思想是把x看作一個(gè)整體，比如：由2kx2k(kZ)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間若函數(shù)yAsin(x)中A0，0，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)閥Asin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間對(duì)函數(shù)yAcos(x)，yAtan(x)等單調(diào)性的討論同上(2)三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有比較三角函數(shù)值的大小，而比較三角函數(shù)值大小的一般步驟：先判斷正負(fù)；利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù)；再利用單調(diào)性比較4求三角函數(shù)的最值常見(jiàn)類型：(1)yAsin(x)B或yAtan(x)B，(2)yA(sin xa)2B，(3)ya(sin x±cos x)bsin xcos x.其中A，B，a，bR，A0，a0.走 進(jìn) 高 考【p52】1(2017·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Af(x)的一個(gè)周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱Cf(x)的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在單調(diào)遞減【解析】函數(shù)的最小正周期為T(mén)2，則函數(shù)的周期為T(mén)2k(kZ)，取k1，可得函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2，選項(xiàng)A正確；函數(shù)的對(duì)稱軸為xk(kZ)，即：xk(kZ)，取k3可得yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；f(x)coscos，函數(shù)的零點(diǎn)滿足xk(kZ)，即xk(kZ)，取k0可得f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x，選項(xiàng)C正確；當(dāng)x時(shí)，x，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤【答案】D2(2018·全國(guó)卷)若f(x)cos xsin x在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B. C. D【解析】因?yàn)閒(x)cos xsin xcos，所以由02kx2k，(kZ)得2kx2k，(kZ)因此a，a，a<a，a，a，0<a，從而a的最大值為.【答案】A考 點(diǎn) 集 訓(xùn)【p203】A組題1函數(shù)y2cos21是 ()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)【解析】因?yàn)閥2cos21cossin 2x為奇函數(shù)，T.【答案】A2函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2 B0C1 D1【解析】0x9，x，sin.y，ymaxymin2.【答案】A3函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】由k2xk(kZ)，得x(kZ)【答案】B4下列函數(shù)中最小正周期為且圖象關(guān)于直線x對(duì)稱的函數(shù)是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin【解析】由函數(shù)的最小正周期為，可排除C.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x對(duì)稱知，該直線過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)于A，因?yàn)閟insin 0，所以選項(xiàng)A不正確對(duì)于D，sinsin，所以選項(xiàng)D不正確對(duì)于B，sinsin 1，所以選項(xiàng)B正確【答案】B5已知fsin2xsin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)增區(qū)間分別為()A，0， B2，C， D2，【解析】由fsin2xsin xcos xsin 2xsin ，T，由2k2x2k解得kxk，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】C6函數(shù)fsin 2x2sin2x1的最小正周期為_(kāi)，最大值為_(kāi)【解析】由已知得fsin 2xcos 2xsin ，故最小正周期T，最大值為.【答案】；7已知函數(shù)f(x)cos2，g(x)1sin 2x.(1)求函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸方程；(2)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的最小正周期和值域【解析】(1)由題設(shè)知f(x).令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x(kZ)(2)h(x)f(x)g(x)1sin 2xsin.所以函數(shù)h(x)的最小正周期T，值域?yàn)?，28已知函數(shù)f(x)sin2cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的最大值與最小值【解析】(1)因?yàn)閒(x)sin 2xcos 2xcos 2x111sin1，所以f(x)sin1，按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，得由2k2x2k，解得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.(2)由(1)中所作的函數(shù)圖象，可知當(dāng)x時(shí)， f(x)取得最大值1；當(dāng)x時(shí)， f(x)取得最小值.B組題1若函數(shù)f(x)sin(x)sin(>0)，且f()2，f()0，的最小值是，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】f(x)sin(x)sin2sin，因?yàn)閒()2，f()0，的最小值是，所以周期為2，1，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為2kx2k，kZ，得到2kx2k.【答案】A2已知函數(shù)f(x)2sin(x)對(duì)任意的x都有ff，則f_【解析】函數(shù)f(x)2sin(x)對(duì)任意的x都有ff，則其圖象的對(duì)稱軸為，所以f±2.【答案】±23函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)2sinx(0x4)的圖象的所有交點(diǎn)為(xi，yi)，則f(y1y2yn)g(x1x2xn)_【解析】如右圖，畫(huà)出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.【答案】4已知函數(shù)f(x)ab.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若x0，時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是5，8，求a，b的值【解析】f(x)a(1cos xsin x)basinab.(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)sinb1，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.(2)0x，x，sin1，依題意知a0.當(dāng)a>0時(shí)，a33，b5；當(dāng)a<0時(shí)，a33，b8.綜上所述，a33，b5或a33，b8.14