（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和專題強(qiáng)化訓(xùn)練

第2講 數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和專題強(qiáng)化訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7B8C9 D10解析：選B.據(jù)已知可轉(zhuǎn)化為>，整理得2n>128，解得n>7，故原不等式的初始值為n8.2設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a4a832，則S11的最小值為()A22 B44C22 D44解析：選B.因?yàn)閿?shù)列an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a4a828，S11(a4a8)×844，故S11的最小值為44，當(dāng)且僅當(dāng)a4a84時(shí)取等號(hào)3設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1，a4a2a8，若log2a1log2a2log2an，則數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為()A BC D解析：選A.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍4a2a8，所以(a1q3)24a1q·a1q7，即4q21，所以q或q(舍)，所以an2n，所以log2anlog22nn，所以(123n)，所以bn2，所以數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為22.4若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()A BC1 D2解析：選D.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第2，3，4項(xiàng)分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1a1qa1q2a1q39，a1·a1q·a1q2·a1q3aq3，兩式相除得2.5證明1>(nN)，假設(shè)nk時(shí)成立，當(dāng)nk1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)是()A1 Bk1Ck D2k解析：選D.當(dāng)nk時(shí)，左邊1.當(dāng)nk1時(shí)，左邊1，增加了，共(2k11)2k12k(項(xiàng))6在等差數(shù)列an中，a25，a621，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2n1Sn對(duì)任意的nN*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為()A3 B4C5 D6解析：選C.在等差數(shù)列an中，因?yàn)閍25，a621，所以解得a11，d4，所以.因?yàn)?gt;0，所以數(shù)列(nN*)是遞減數(shù)列，數(shù)列(nN*)的最大項(xiàng)為S3S1，所以，m.又m是正整數(shù)，所以m的最小值是5.7(2019·溫州七杭聯(lián)考)在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an中，首項(xiàng)a12，且點(diǎn)(a，a)在直線x9y0上，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn等于()A3n1 BC D解析：選A.由點(diǎn)(a，a)在直線x9y0上，得a9a0，即(an3an1)(an3an1)0，又?jǐn)?shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，且a12，所以an3an1>0，所以an3an10，即3，所以數(shù)列an是首項(xiàng)a12，公比q3的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn3n1，故選A.8(2019·高考浙江卷)設(shè)a，bR，數(shù)列an滿足a1a，an1ab，nN*，則()A當(dāng)b時(shí)，a10>10 B當(dāng)b時(shí)，a10>10C當(dāng)b2時(shí)，a10>10 D當(dāng)b4時(shí)，a10>10解析：選A.當(dāng)b時(shí)，因?yàn)閍n1a，所以a2，又an1aan，故a9a2×()7×()74，a10>a32>10.當(dāng)b時(shí)，an1an，故a1a時(shí)，a10，所以a10>10不成立同理b2和b4時(shí)，均存在小于10的數(shù)x0，只需a1ax0，則a10x0<10，故a10>10不成立所以選A.9(2019·嘉興一中高考適應(yīng)性考試)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則an>0的最大n_，滿足SkSk1<0的正整數(shù)k_解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，所以依題意a6S6S5>0，a7S7S6<0，a6a7S7S5>0，所以an>0的最大n6.所以S1111a6>0，S12>0，S1313a7<0，所以S12S13<0，即滿足SkSk1<0的正整數(shù)k12.答案：61210數(shù)列an中，a12，an1，則通項(xiàng)公式an_解析：因?yàn)閍n1，所以.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以(n1)×，所以an.答案：11(2019·麗水調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列an滿足a3a736，a4a6275，且anan1有最小值，則這個(gè)最小值為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍3a736，所以a4a636，與a4a6275，聯(lián)立，解得或當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)an7n17，a23，a34，易知當(dāng)n2時(shí)，an<0，當(dāng)n3時(shí)，an>0，所以a2a312為anan1的最小值；當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)an7n53，a74，a83，易知當(dāng)n7時(shí)，an>0，當(dāng)n8時(shí)，an<0，所以a7a812為anan1的最小值綜上，anan1的最小值為12.答案：1212設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6150，則d的取值范圍是_解析：由S5S6150，得·150.整理可得2a9a1d10d210.因?yàn)閍1，d為實(shí)數(shù)，所以(9d)24×2×(10d21)0，解得d2或d2.答案：d2或d213(2019·蘭州診斷考試)已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n2時(shí)，有1成立，則S2 017_解析：當(dāng)n2時(shí)，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以n1，故Sn，則S2 017.答案：14已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12an1成立的n的最小值為_解析：所有的正奇數(shù)和2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成an，在數(shù)列an中，25前面有16個(gè)正奇數(shù)，即a2125，a3826.當(dāng)n1時(shí)，S11<12a224，不符合題意；當(dāng)n2時(shí)，S23<12a336，不符合題意；當(dāng)n3時(shí)，S36<12a448，不符合題意；當(dāng)n4時(shí)，S410<12a560，不符合題意；當(dāng)n26時(shí)，S2644162503<12a27516，不符合題意；當(dāng)n27時(shí)，S2748462546>12a28540，符合題意故使得Sn>12an1成立的n的最小值為27.答案：2715(2018·高考天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(nN*)已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值解：(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.由b11，b3b22，可得q2q20.因?yàn)閝>0，可得q2，故bn2n1.所以，Tn2n1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann.所以，Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以，n的值為4.16已知數(shù)列an滿足：a1，anaan1(n2且nN)(1)求a2，a3；(2)設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為An，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Bn，證明：an1.解：(1)a2aa1，a3aa2.(2)證明：因?yàn)閍naan1，所以aanan1，所以Anaaaa(a2a1)(a3a2)(an1an)an1，因?yàn)閍naan1an1(an11)，所以，所以，所以Bn()()()().所以an1.17設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和解：(1)由題意得則又當(dāng)n2時(shí)，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nN*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，b12，b21.當(dāng)n3時(shí)，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則T12，T23.當(dāng)n3時(shí)，Tn3，所以Tn18(2019·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)在數(shù)列an中，a12，an12an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和為Sn，試求數(shù)列S2nSn的最小值解：(1)由條件an12an得2·，又a12，所以2，因此數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而2·2n12n，因此，ann·2n.(2)由(1)得bn，設(shè)cnS2nSn，則cn，所以cn1，從而cn1cn>0，因此數(shù)列cn是單調(diào)遞增的，所以cnminc1.- 7 -