（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.8 函數(shù)與方程練習(xí) 新人教B版

2.8 函數(shù)與方程核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 1.已知實(shí)數(shù)a>1,0<b<1,則函數(shù)f(x)=ax+x-b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln x,則函數(shù)y=f(x)()A.在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)B.在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均無零點(diǎn)C.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點(diǎn)D.在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)3.(2020·揚(yáng)州模擬)設(shè)函數(shù)y=x2與y=的圖象交點(diǎn)為(x0,y0),則x0所在區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(-,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+)內(nèi)D.(-,a)和(c,+)內(nèi)【解析】1.選B.因?yàn)閍>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在區(qū)間(-1,0)上存在零點(diǎn).2.選D.令f(x)=0得x=ln x.作出函數(shù)y=x和y=ln x的圖象,如圖,顯然y=f(x)在內(nèi)無零點(diǎn),在(1,e)內(nèi)有零點(diǎn).3.選B.因?yàn)楹瘮?shù)y=x2與y=的圖象交點(diǎn)為(x0,y0),則x0是方程x2=的解,也是函數(shù)f(x)=x2-的零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零點(diǎn)存在性定理可知,方程的解在(1,2)內(nèi).4.選A.因?yàn)閍<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn),又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn);因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi).確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.(2)數(shù)形結(jié)合法.【秒殺絕招】用特殊值法可解T2.考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【典例】1.函數(shù)f(x)=|x-2|-ln x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.32.(2019·全國卷)函數(shù)f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4D.53.已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x-1,1時(shí),f(x)=2|x|-1,則函數(shù)F(x)=f(x)-|lg x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.9B.10C.11D.18【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由f(x)=|x-2|-ln x的零點(diǎn),想到|x-2|=ln x.2由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化簡(jiǎn),令f(x)=0求sin x與cos x的值.3由F(x)=f(x)-|lg x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù),想到f(x)=|lg x|.【解析】1.選C.作出函數(shù)y=|x-2|與g(x)=ln x的圖象,如圖所示.由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn).2.選B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,則sin x=0或cos x=1,又x0,2,所以x=0,2,共三個(gè)零點(diǎn).3.選B.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=|lg x|的大致圖象如圖,由圖象可知,它們共有10個(gè)不同的交點(diǎn),因此函數(shù)F(x)=f(x)-|lg x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn).(2)利用零點(diǎn)存在性定理再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.1.函數(shù)f(x)=3x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】選B.由題意知f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)不斷,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).2.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(x)+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.令f(x)+3x=0,則或解得x=0或x=-1,所以函數(shù)y=f(x)+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.3.已知f(x)=則函數(shù)y=2f(x)2-3f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_. 【解析】由2f(x)2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖象.由圖象知y=與y=f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),y=1與y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).因此函數(shù)y=2f(x)2-3f(x)+1的零點(diǎn)有5個(gè).答案:5考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 命題精解讀考什么:(1)由函數(shù)的零點(diǎn)有無、個(gè)數(shù)求參數(shù)值或范圍、圖象的交點(diǎn)、解方程、解不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).怎么考:多以選擇、填空題的形式考查.新趨勢(shì):以函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體,圖象與性質(zhì)、數(shù)與形、求參數(shù)值或范圍交匯考查.學(xué)霸好方法已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)值或范圍【典例】已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)【解析】選C.畫出函數(shù)f(x)的圖象,y=ex在y軸右側(cè)的圖象去掉,再畫出直線y=-x,并上下移動(dòng),可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)(0,1)時(shí),直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),并且向下可以無限移動(dòng),都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=-x-a有兩個(gè)解,也就是函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)滿足-a1,即a-1.已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù),或兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,再去求解.由函數(shù)有無零點(diǎn)求參數(shù)【典例】若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零點(diǎn),所以方程4x-2x-a=0在-1,1上有解,即方程a=4x-2x在-1,1上有解.方程a=4x-2x可變形為a=-,因?yàn)閤-1,1,所以2x,令2x=t,t,a=-,0t-,0,-2,所以a=-的范圍為,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案:函數(shù)有(或無)零點(diǎn)如何求參數(shù)的范圍?提示:先分離參數(shù),再依據(jù)有(或無)零點(diǎn)得出等式(或不等式),最后得出結(jié)論.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的比較大小【典例】(2019·承德模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2x-lox的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)的值滿足()A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符號(hào)不確定【解析】選C.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=lox的圖象,由圖象可知,當(dāng)0<x0<a時(shí),有<lox0,即f(x0)<0.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的函數(shù)值如何比較大小?提示:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象,根據(jù)圖象所處的上下位置確定.1.若函數(shù)f(x)=|2x-4|-a存在兩個(gè)零點(diǎn),且一個(gè)為正數(shù),另一個(gè)為負(fù)數(shù),則a的取值范圍為()A.(0,4)B.(0,+)C.(3,4)D.(3,+)【解析】選C.令g(x)=|2x-4|,其圖象如圖所示,若f(x)=|2x-4|-a存在兩個(gè)零點(diǎn),且一個(gè)為正數(shù),另一個(gè)為負(fù)數(shù),則a(3,4).2.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-1的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是()A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】選B.令y1=2x,y2=ln x,y3=-1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-1的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,則y1=2x,y2=ln x,y3=-1的圖象與y=-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y1=2x,y2=ln x,y3=-1及y=-x的圖象如圖,結(jié)合圖象可得x1<x2<x3.3.(2020·南通模擬)已知f(x)是定義在R上且周期為的周期函數(shù),當(dāng)x時(shí), f(x)=1-|2x-1|.若函數(shù)y=f(x)-logax(a>1)在(0,+)上恰有4個(gè)互不相同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為_. 【解析】當(dāng)x時(shí),f(x)=1-|2x-1|=,且f(x)是定義在R上且周期為的周期函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-logax(a>1)在(0,+)上恰有4個(gè)互不相同的零點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)與y=logax(a>1)在(0,+)上恰有4個(gè)不同的交點(diǎn),分別畫出兩函數(shù)圖象如圖所示,由圖可知,當(dāng)x=時(shí),有l(wèi)oga=1,所以a=.答案:4.方程2x+3x=k的解在1,2)內(nèi),則k的取值范圍是_. 【解析】令函數(shù)f(x)=2x+3x-k,則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x+3x=k的解在(1,2)內(nèi)時(shí),f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.又當(dāng)f(1)=0時(shí),k=5.則方程2x+3x=k的解在1,2)內(nèi),k的取值范圍是5,10).答案:5,10)1.(2020·包頭模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x+3x-8的零點(diǎn)x0a,b,且b-a=1,a,bN*,則a+b=()A.0B.2C.5D.7【解析】選C.因?yàn)閒(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且函數(shù)f(x)=ln x+3x-8在(0,+)上為單調(diào)遞增函數(shù),所以x02,3,即a=2,b=3,所以a+b=5.2.已知a為正常數(shù),f(x)=若x1,x2R,使f(x1)=f(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【解析】由于a>0,函數(shù)y=x2+ax+3在0,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=0時(shí)有最小值為3.在x<0時(shí),函數(shù)為增函數(shù),要使x1,x2存在,使得f(x1)=f(x2),則需20+a>3,解得a>2.答案:(2,+)9