（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 第9講 離散型隨機變量的均值與方差練習（含解析）

第9講離散型隨機變量的均值與方差一、選擇題1.已知離散型隨機變量X的概率分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4解析由0.5m0.21得m0.3，E(X)1×0.53×0.35×0.22.4，D(X)(12.4)2×0.5(32.4)2×0.3(52.4)2×0.22.44.答案C2.(2017·西安調(diào)研)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為()A.100 B.200 C.300 D.400解析設沒有發(fā)芽的種子有粒，則B(1 000，0.1)，且X2，E(X)E(2)2E()2×1 000×0.1200.答案B3.已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為()A.n4，p0.6 B.n6，p0.4C.n8，p0.3 D.n24，p0.1解析由二項分布XB(n，p)及E(X)np，D(X)np·(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.故選B.答案B4.已知隨機變量X8，若XB(10，0.6)，則E()，D()分別是()A.6，2.4 B.2，2.4C.2，5.6 D.6，5.6解析由已知隨機變量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)810×0.62，D()(1)2D(X)10×0.6×0.42.4.答案B5.口袋中有5只球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的數(shù)學期望E(X)的值是()A.4 B.4.5 C.4.75 D.5解析由題意知，X可以取3，4，5，P(X3)，P(X4)，P(X5)，所以E(X)3×4×5×4.5.答案B二、填空題6.設X為隨機變量，XB，若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)2，則P(X2)等于_.解析由XB，E(X)2，得npn2，n6，則P(X2)C.答案7.隨機變量的取值為0，1，2.若P(0)，E()1，則D()_.解析設P(1)a，P(2)b，則解得所以D()(01)2×(11)2×(21)2×.答案8.(2017·合肥模擬)某科技創(chuàng)新大賽設有一、二、三等獎(參與活動的都有獎)且相應獎項獲獎的概率是以a為首項，2為公比的等比數(shù)列，相應的獎金分別是7 000元、5 600元、4 200元，則參加此次大賽獲得獎金的期望是_元.解析由題意知a2a4a1，a，獲得一、二、三等獎的概率分別為，所獲獎金的期望是E(X)×7 000×5 600×4 2005 000元.答案5 000三、解答題9.(2017·成都診斷)據(jù)報道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點，一時間“英語考試該如何改”引起廣泛關注.為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3 600人進行調(diào)查，就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調(diào)查統(tǒng)計，結果如下表： 態(tài)度調(diào)查人群應該取消應該保留無所謂在校學生2 100人120人y人社會人士600人x人z人已知在全體樣本中隨機抽取1人，抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.05.(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取360人進行訪談，問應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？(2)在持“應該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進行深入交流.求第一組中在校學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.解(1)因為抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.05，所以0.05，解得x60.所以持“無所謂”態(tài)度的人數(shù)為3 6002 10012060060720，所以應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取720×72人.(2)由(1)知持“應該保留”態(tài)度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校學生為×64人，社會人士為×62人，于是第一組在校學生人數(shù)1，2，3，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列為123P所以E()1×2×3×2.10.(2017·鄭州一模)在“出彩中國人”的一期比賽中，有6位歌手(16)登臺演出，由現(xiàn)場百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星，各家媒體獨立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另在2號至6號中隨機的選2名；媒體乙不欣賞2號歌手，他必不選2號；媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號歌手中隨機的選出3名.(1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學期望.解(1)設A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，B表示事件：“媒體乙選中3號歌手”，C表示事件：“媒體丙選中3號歌手”，則P(A)，P(B)，媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率為P(A)×.(2)P(C)，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，P(X0)P()××.P(X1)P(A)P(B)P(C)××××××，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)××××××，P(X3)P(ABC)××，X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.11.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得白球數(shù)為X，已知E(X)3，則D(X)()A. B. C. D.解析由題意，XB，又E(X)3，m2，則XB，故D(X)5××.答案B12.袋中裝有大小完全相同，標號分別為1，2，3，9的九個球.現(xiàn)從袋中隨機取出3個球.設為這3個球的標號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3，4和4，5，此時的值是2)，則隨機變量的均值E()為()A. B.C. D.解析依題意得，的所有可能取值是0，1，2.且P(0)，P(1)，P(2)，因此E()0×1×2×.答案D13.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的分布列如下表：x123p(x)？！？請小牛同學計算的均值.盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.解析設“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1×x2×(12x)3xx24x3x2.答案214.計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？解(1)依題意，p1P(40<X<80)0.2，p2P(80x120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p34××0.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).安裝1臺發(fā)電機的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y5 000，E(Y)5 000×15 000.安裝2臺發(fā)電機的情形.依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；當X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.安裝3臺發(fā)電機的情形.依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當80X120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×28009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當X>120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺.7