（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 7 第7講 n次獨立重復(fù)試驗與二項分布高效演練分層突破

第7講n次獨立重復(fù)試驗與二項分布基礎(chǔ)題組練1(2020·東北四市高考模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為()A4B5C6 D7解析：選A.由題意得P1，則，所以n4，故n的最小值為4.2投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是()A. B.C. D.解析：選C.依題意，得P(A)，P(B)，且事件A，B相互獨立，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率為1P(·)1P()·P()1×，故選C.3(2020·紹興調(diào)研)設(shè)隨機變量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，則P(Y2)的值為()A. B.C. D.解析：選B.因為隨機變量XB(2，p)，YB(4，p)，又P(X1)1P(X0)1(1p)2，解得p，所以YB，則P(Y2)1P(Y0)P(Y1).4(2020·杭州七校聯(lián)考)如果XB，則使P(Xk)取最大值的k值為()A3 B4C5 D3或4解析：選D.觀察選項，采用特殊值法因為P(X3)C，P(X4)C，P(X5)C，經(jīng)比較，P(X3)P(X4)P(X5)，故使P(Xk)取最大值時k3或4.5某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且每棵大樹是否成活互不影響，則移栽的4棵大樹中至少有1棵成活的概率是()A. B.C. D.解析：選D.設(shè)Ak表示第k棵甲種大樹成活，k1，2；Bl表示第l棵乙種大樹成活，l1，2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)P(A2)，P(B1)P(B2)，則至少有1棵大樹成活的概率為1P(···)1P()·P()·P()·P()1×.6.如圖所示的電路有a，b，c三個開關(guān)，每個開關(guān)開和關(guān)的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為_解析：設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應(yīng)為事件AC，且A，C之間彼此獨立，P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).答案：7某機械研究所對新研發(fā)的某批次機械元件進行壽命追蹤調(diào)查，隨機抽查的200個機械元件情況如下：使用時間/天10202130314041505160個數(shù)1040805020若以頻率為概率，現(xiàn)從該批次機械元件中隨機抽取3個，則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為_解析：由表可知元件使用壽命在30天以上的頻率為，則所求概率為C×.答案：8某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層停靠，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率都為，用X表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X4)_解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，故XB，即有P(Xk)C×，k0，1，2，3，4，5.故P(X4)C×.答案：9小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(1)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率；(2)若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列解：(1)設(shè)“甲恰得1個紅包”為事件A，則P(A)C××.(2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20.P(X0)，P(X5)C××，P(X10)××，P(X15)C××，P(X20).X的分布列為X05101520P10.已知某種動物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為.某小組為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，進行了藥物試驗試驗設(shè)計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無關(guān)(1)若出現(xiàn)A癥狀，則立即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率；(2)若在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個用藥周期結(jié)束后終止試驗若試驗至多持續(xù)兩個周期，設(shè)藥物試驗持續(xù)的用藥周期為，求的分布列解：(1)法一：記試驗持續(xù)i天為事件Ai，i1，2，3，4，試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，易知P(A1)，P(A2)×，P(A3)×，P(A4)×，則P(B)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).法二：記試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，則為試驗持續(xù)超過一個周期，易知P()，所以P(B)1.(2)隨機變量的所有可能取值為1，2，P(1)C·，P(2)1，所以的分布列為12P綜合題組練1某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列解：(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個球是紅球，B1顧客抽獎1次獲一等獎，B2顧客抽獎1次獲二等獎，C顧客抽獎1次能獲獎由題意知A1與A2相互獨立，A1與A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2，CB1B2.因為P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)×，P(B2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P()P()P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2)××.故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以XB.于是P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列為X0123P2.(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三月考)某校課改實行選修走班制，現(xiàn)有甲，乙，丙，丁四位學(xué)生準(zhǔn)備選修物理，化學(xué)，生物三個科目每位學(xué)生只選修一個科目，且選修其中任何一個科目是等可能的(1)求恰有2人選修物理的概率；(2)求學(xué)生選修科目個數(shù)的分布列解：(1)這是等可能性事件的概率計算問題法一：所有可能的選修方式有34種，恰有2人選修物理的方式C·22種，從而恰有2人選修物理的概率為.法二：設(shè)每位學(xué)生選修為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗記“選修物理”為事件A，則P(A)，從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人選修物理的概率為PC.(2)的所有可能值為1，2，3，P(1)；P(2)；P(3)；綜上知，的分布列為123P3.現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡(1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率；(2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯(lián)歡的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為，去參加乙項目聯(lián)歡的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i0，1，2，3，4)，則P(Ai)C·.(1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)C.(2)設(shè)“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.故P(B)P(A3)P(A4)CC.所以，這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0，2，4.P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列為024P4.某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢某選手在M處的命中率q10.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為X02345P0.03P1P2P3P4(1)求隨機變量X的分布列；(2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大小解：(1)設(shè)該選手在M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)0.25，P()0.75，P(B)q2，P()1q2.根據(jù)分布列知：當(dāng)X0時，P( )P()P()P()0.75(1q2)20.03，所以1q20.2，q20.8.當(dāng)X2時，P1P( B B)P()P(B)P()P()P()P(B)0.75q2(1q2)×20.24，當(dāng)X3時，P2P(A)P(A)P()P()0.25(1q2)20.01，當(dāng)X4時，P3P(BB)P()P(B)P(B)0.75q0.48，當(dāng)X5時，P4P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P()P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24.所以隨機變量X的分布列為X02345P0.030.240.010.480.24(2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.480.240.72.該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為P(BBBBBB)P(BB)P(BB)P(BB)2(1q2)qq0.896.所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大9