（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型練5 大題專項（三）統(tǒng)計與概率問題

題型練5大題專項(三)統(tǒng)計與概率問題題型練第58頁 1.為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手兩名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有兩名種子選手,且這兩名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635.所以,事件A發(fā)生的概率為635.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1143737114隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52.2.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡,用“k=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D(1),D(2),D(3),D(4),D(5),D(6)的大小關(guān)系.解:(1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A,第四類電影中獲得好評的電影為200×0.25=50(部).P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=0.025.(2)設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評”為事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由題意可知,定義隨機(jī)變量如下:k=0,第k類電影沒有得到人們喜歡,1,第k類電影得到人們喜歡,則k顯然服從兩點(diǎn)分布,則六類電影的分布列及方差計算如下:第一類電影:110P0.40.6D(1)=0.4×0.6=0.24;第二類電影:210P0.20.8D(2)=0.2×0.8=0.16;第三類電影:310P0.150.85D(3)=0.15×0.85=0.1275;第四類電影:410P0.250.75D(4)=0.25×0.75=0.1875;第五類電影:510P0.20.8D(5)=0.2×0.8=0.16;第六類電影:610P0.10.9D(6)=0.1×0.9=0.09.綜上所述,D(1)>D(4)>D(2)=D(5)>D(3)>D(6).3.2018年在人民大會堂舉行了慶祝改革開放40周年大會.會后,央視媒體平臺,收到了來自全國各地的紀(jì)念改革開放40年變化的老照片,并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”,其作者年齡集中在25,85之間,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,作出頻率分布直方圖如下:(1)求這100位作者年齡的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,作者年齡X服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù)x,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(60<X<73.4);央視媒體平臺從年齡在45,55和65,75的作者中,按照分層抽樣的方法,抽出了7人參加“紀(jì)念改革開放40年圖片展”表彰大會,現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言,設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間45,55的人數(shù)是Y,求變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:18013.4,若XN(,2),則P(-<X<+)0.682 7,P(-2<X<+2)0.954 5.解:(1)這100位作者年齡的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.(2)由(1)知,XN(60,180),從而P(60<X<73.4)=12P(60-13.4<X<60+13.4)0.34135.根據(jù)分層抽樣的原理,可知這7人中年齡在45,55內(nèi)有3人,在65,75內(nèi)有4人.故Y可能的取值為0,1,2,3.P(Y=0)=C30C43C73=435,P(Y=1)=C31C42C73=1835,P(Y=2)=C32C41C37=1235,P(Y=3)=C33C40C73=135.所以Y的分布列為Y0123P43518351235135所以Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97.4.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4k·C33-kC73(k=0,1,2,3).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P13512351835435隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B+C,且B與C互斥.由知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B+C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A發(fā)生的概率為67.5.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列.(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.解:(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意,得P(X=10)=C31×121×1-122=38,P(X=20)=C32×122×1-121=38,P(X=100)=C33×123×1-120=18,P(X=-200)=C30×120×1-123=18.所以X的分布列為X1020100-200P38381818(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以,“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512.因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512.(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=10×38+20×38+100×18-200×18=-54.這表明,獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù),因此,多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.6.在某個春晚分會場,演員身穿獨(dú)特且輕薄的石墨烯發(fā)熱服,在寒氣逼人的零下20 春晚現(xiàn)場表演了精彩的節(jié)目.石墨烯發(fā)熱服的制作:從石墨中分離出石墨烯,制成石墨烯發(fā)熱膜,再把石墨烯發(fā)熱膜鋪到衣服內(nèi).(1)從石墨分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法,使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有A材料、B材料供選擇,研究人員對附著在A材料上再結(jié)晶做了30次試驗,成功28次;對附著在B材料上再結(jié)晶做了30次試驗,成功20次.用2×2列聯(lián)表判斷:能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為試驗是否成功與材料A和材料B的選擇有關(guān)?A材料B材料成功不成功(2)研究人員得到石墨烯后,再制作石墨烯發(fā)熱膜有四個環(huán)節(jié):透明基底及UV膠層;石墨烯層;銀漿線路;表面封裝層.前三個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為12,每個環(huán)節(jié)不合格需要修復(fù)的費(fèi)用均為200元;第四環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為23,此環(huán)節(jié)不合格需要修復(fù)的費(fèi)用為100元,問:一次生產(chǎn)出來的石墨烯發(fā)熱膜成為合格品平均需要多少修復(fù)費(fèi)用?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(1)列表A材料B材料合計成功282048不成功21012合計303060K2的觀測值k=60×(28×10-2×20)230×30×48×126.7<7.879,所以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,不能認(rèn)為試驗是否成功與材料A和材料B的選擇有關(guān).(2)設(shè)X為一次生產(chǎn)出石墨烯發(fā)熱膜為合格品所需的修復(fù)費(fèi)用,則X的可能取值為0,100,200,300,400,500,600,700.P(X=0)=123×23=112,P(X=100)=123×13=124,P(X=200)=C311-12×122×23=14,P(X=300)=C311-12×122×13=18,P(X=400)=C321-122×12×23=14,P(X=500)=C321-122×12×13=18,P(X=600)=1-123×23=112,P(X=700)=1-123×13=124,E(X)=0×112+100×124+200×14+300×18+400×14+500×18+600×112+700×124=33313.8