廣西2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 考點規(guī)范練13 函數(shù)模型及其應(yīng)用 文

考點規(guī)范練13　函數(shù)模型及其應(yīng)用 一、基礎(chǔ)鞏固 1.在我國大西北,某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為(　　) 答案D 解析由題意可得y=(1+10.4%)x,函數(shù)是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù),故選D. 2.某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 答案C 解析根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知,應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型. 3.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為(　　) A.800米 B.900米 C.1 000米 D.1 200米 答案A 解析設(shè)這個廣場的長為x米,則寬為40000x米.故其周長為l=2x+40000x≥800,當且僅當x=200時取等號. 4. 在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是(　　) A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30] 答案C 解析設(shè)矩形的另一邊長為ym,則由三角形相似知,x40=40-y40,∴y=40-x.∵xy≥300,∴x(40-x)≥300, ∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30. 5.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)關(guān)系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是(　　) A.100臺 B.120臺 C.150臺 D.180臺 答案C 解析設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*). 令f(x)≥0,得x≥150,故生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量是150臺. 6.某房地產(chǎn)公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套房月租金定為3 000元時,這70套公寓能全租出去;當月租金每增加50元時(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍),就會多一套房子租不出去.設(shè)租出的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設(shè)租不出去的房子不需要花這些費用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應(yīng)定為(　　) A.3 000元 B.3 300元 C.3 500元 D.4 000元 答案B 解析由題意,設(shè)利潤為y元,租金定為(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N), 則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x) ≤5058+x+70-x22=204800, 當且僅當58+x=70-x,即x=6時,等號成立, 故每月租金定為3000+300=3300(元)時,公司獲得最大利潤,故選B. 7.某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(　　) A.略有盈利 B.略有虧損 C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法判斷盈虧情況 答案B 解析設(shè)該股民購這只股票的價格為a元,則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經(jīng)歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損. 8.根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與MN最接近的是(　　) (參考數(shù)據(jù):lg 3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 答案D 解析設(shè)MN=x=33611080,兩邊取對數(shù),得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即與MN最接近的是1093.故選D. 9.一個人以6 m/s的速度去追趕停在交通燈前的汽車,當他離汽車25 m時交通燈由紅變綠,汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進方向相同),汽車在時間t內(nèi)的路程為s=12t2 m,則此人(　　) A.可在7 s內(nèi)追上汽車 B.可在9 s內(nèi)追上汽車 C.不能追上汽車,但期間最近距離為14 m D.不能追上汽車,但期間最近距離為7 m 答案D 解析已知s=12t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.當t=6時,d取得最小值7.結(jié)合選項可知選D. 10. (2018山東泰安聯(lián)考)已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是(　　) A.40萬元 B.60萬元 C.120萬元 D.140萬元 答案C 解析甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙4元時該商人全部買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C. 11.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn).分流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是　　　　　.  答案16 解析由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t(萬元),分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100-x)(1+1.2x%)t, 則0<x<100,x∈N*,(100-x)(1+1.2x%)t≥100t,解得0<x≤503. 因為x∈N*,所以x的最大值為16. 二、能力提升 12.“好酒也怕巷子深”,許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R=aA(a為常數(shù)),廣告效應(yīng)為D=R-A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng),投入的廣告費應(yīng)為　　　　　.(用常數(shù)a表示)  答案14a2 解析令t=A(t≥0),則A=t2, ∴D=aA-A=at-t2=-t-12a2+14a2, ∴當t=12a,即A=14a2時,D取得最大值. 13.某食品的保鮮時間y(單位:h)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192 h,在22 ℃的保鮮時間是48 h,則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　) A.16 h B.20 h C.24 h D.28 h 答案C 解析由題意,得(0,192)和(22,48)是函數(shù)y=ekx+b圖象上的兩個點, 所以192=eb,48=e22k+b.①② 由②得,48=e22k·eb,③ 把①代入③得e22k=48192=14, 即(e11k)2=14,所以e11k=12. 所以當儲藏溫度為33℃時,保鮮時間y=e33k+b=(e11k)3·eb=18×192=24(h). 14.為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷,某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:①若不超過200元,則不予優(yōu)惠;②若超過200元,但不超過500元,則按標價給予9折優(yōu)惠;③若超過500元,則其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.辛云和她母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設(shè)他們一次性購買上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為　　　　　　　　.  答案546.6元 解析依題意,價值為x元的商品和實際付款額f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為 f(x)=x,0≤x≤200,0.9x,200<x≤500,500×0.9+(x-500)×0.7,x>500. 當f(x)=168時,由168÷0.9≈187<200, 故此時x=168; 當f(x)=423時,由423÷0.9=470∈(200,500], 故此時x=470. 故兩次共購得價值為470+168=638元的商品. 又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性購買上述商品,應(yīng)付款額為546.6元. 15.2017年10月9日—10月13日為天貓親子理想生活季.天貓某商家為了慶祝該節(jié)日,于2017年10月1日起特意推行親子款十二生肖紀念章.通過市場調(diào)查,得到該紀念章每枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下: 上市時間x/天 4 10 36 市場價y/元 90 51 90 (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),為描述親子款十二生肖紀念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系,從下列函數(shù)中選取一個最佳的函數(shù)模型是　　　　　.  ①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax. (2)利用你選取的函數(shù),求親子款十二生肖紀念章的市場價最低時的上市時間及最低價格. (3)設(shè)你選取的函數(shù)為y=f(x),若對任意實數(shù)k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個相異實數(shù)根,求m的取值范圍. 解(1)由于市場價y隨上市時間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調(diào)函數(shù),不符合題意,故選擇二次函數(shù)模型②. (2)由表中數(shù)據(jù)可知16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,-b2a=4+362, 解得a=14,b=-10,c=126. ∴函數(shù)模型為y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26. ∴當市場價最低時的上市時間為20天,最低價格為26元. (3)∵f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120, ∴14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有兩個相異實數(shù)根, ∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立, 即-2m<k2+20k+94. ∵k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6, ∴-2m<-6,∴m>3. 故m的取值范圍是(3,+∞). 三、高考預(yù)測 16.如圖,正方形ABCD的頂點A0,22,B22,0,頂點C,D位于第一象限,直線l:x=t(0≤t≤2)將正方形ABCD分成兩部分,記位于直線l左側(cè)陰影部分的面積為f(t),則函數(shù)s=f(t)的圖象大致是(　　) 答案C 解析依題意得s=f(t)=t2,0≤t≤22,-(t-2)2+1,22<t≤2, 分段畫出函數(shù)的圖象可得圖象如選項C所示,故選C. 8