（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第6講 雙曲線練習(xí)（含解析）

第6講 雙曲線基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1若雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±2xBy±xCy±xDy±x解析：選B.由條件e，即，得13，所以，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.故選B.2已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線為ykx(k0)，離心率ek，則雙曲線方程為()A1B1C1D1解析：選C.由已知得，所以a24b2.3(2019·杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)雙曲線M：x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，記|F1F2|2c，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓與曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|c2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()ABCD解析：選A.由點(diǎn)P在雙曲線的第一象限可得|PF1|PF2|2，則|PF2|PF1|2c，又|OP|c，F(xiàn)1PF290°，由勾股定理可得(c2)2c2(2c)2，解得c1.易知POF2為等邊三角形，則xP，選項(xiàng)A正確4(2019·杭州中學(xué)高三月考)已知F1、F2分別是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，若F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，OF1為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為()AB3CD2解析：選D.由題意，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，一條漸近線方程為yx，則F2到漸近線的距離為b.設(shè)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)2M與漸近線交于A，所以|MF2|2b，A為F2M的中點(diǎn)，又O是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)AF1M，所以F1MF2為直角，所以MF1F2為直角三角形，所以由勾股定理得4c2c24b2，所以3c24(c2a2)，所以c24a2，所以c2a，所以e2.故選D.5(2017·高考全國(guó)卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則APF的面積為()解析：選D.法一：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2，0)，當(dāng)x2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得41，解得y±3，不妨取點(diǎn)P(2，3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，3)，所以APx軸，又PFx軸，所以APPF，所以SAPF|PF|·|AP|×3×1.故選D.法二：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2，0)，當(dāng)x2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得41，解得y±3，不妨取點(diǎn)P(2，3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，3)，所以(1，0)，(0，3)，所以·0，所以APPF，所以SAPF|PF|·|AP|×3×1.故選D.6(2019·浙江高中學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)已知雙曲線1(a0，b0)與拋物線y220x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|17，則雙曲線的離心率為()ABCD解析：選B.由題意知F(5，0)，不妨設(shè)P點(diǎn)在x軸的上方，由|PF|17知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為17512，則其縱坐標(biāo)為4，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(5，0)，則|PF1|23，所以2a|PF1|PF|23176，所以a3，所以e，故選B.7(2019·寧波市余姚中學(xué)高三期中)已知曲線1，當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)k的取值范圍是_；當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)k的取值范圍是_解析：當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，k2k2，所以k1或k2；當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，k2k0，所以0k1.答案：k1或k20k18(2019·金華十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·0，則P到x軸的距離為_解析：F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為yx，則可設(shè)P(x0，x0)，由·(x0，x0)·(x0，x0)3x60，得x0±，故P到x軸的距離為|x0|2.答案：29(2019·瑞安四校聯(lián)考)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線與直線x分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點(diǎn)若60°<AFB<90°，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析：雙曲線1的兩條漸近線方程為y±x，x時(shí)，y±，不妨設(shè)A，B，因?yàn)?0°<AFB<90°，所以<kFB<1，所以<<1，所以<<1，所以<<1，所以1<e21<3，所以<e<2.答案：(，2)10設(shè)P為雙曲線x21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若PF1F2的面積為12，則F1PF2_解析：由題意可知，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，|F1F2|2.設(shè)P(x0，y0)，則PF1F2的面積為×2|y0|12.故y，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得x，不妨設(shè)點(diǎn)P，則，可得·0，即PF1PF2，故F1PF2.答案：11已知橢圓D：1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，(5，0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程為1(a>0，b>0)，所以漸近線方程為bx±ay0且a2b225，又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r3.所以3，得a3，b4，所以雙曲線G的方程為1.12已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求AOB的面積解：(1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y±2x，設(shè)A(m，2m)，B(n，2n)，其中m>0，n>0，由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x21，整理得mn1.設(shè)AOB2，因?yàn)閠an2，則tan ，從而sin 2.又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn2.能力提升1(2019·舟山市普陀三中高三期中)過(guò)雙曲線1(a0，b0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C.若，則雙曲線的離心率是()ABCD解析：選C.直線l：yxa與漸近線l1：bxay0交于B，l與漸近線l2：bxay0交于C，A(a，0)，所以，因?yàn)?，所以b2a，所以c2a24a2，所以e25，所以e，故選C.2(2019·寧波高考模擬)如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若AF1BF1，且AF1O，則C1與C2的離心率之和為()A2B4C2D2解析：選A.F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若AF1BF1，且AF1O，可得A，B，代入橢圓方程可得1，可得1，可得e48e240，解得e1.代入雙曲線方程可得：1，可得：1，可得：e48e240，解得e1，則C1與C2的離心率之和為2.故選A.3設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_解析：由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2x軸時(shí)，|PF1|PF2|有最大值8；當(dāng)P為直角時(shí)，|PF1|PF2|有最小值2.因?yàn)镕1PF2為銳角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范圍為(2，8)答案：(2，8)4(2019·溫州十五校聯(lián)合體聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)M(0，1)且斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩漸近線交于點(diǎn)A，B，且2，則直線l的方程為_；如果雙曲線的焦距為2，則b的值為_解析：直線l的方程為yx1，兩漸近線的方程為y±x.其交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.由2，得xB2xA.若，得a3b，由a2b210b210得b1，若，得a3b(舍去)答案：yx115已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)若F1AB的面積等于6，求直線l的方程解：(1)依題意，b，2a1，c2，所以雙曲線的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)易驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)不滿足題意，故可設(shè)直線l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k±，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F(xiàn)1AB的面積Sc|y1y2|2|k|·|x1x2|2|k|·12|k|·6.得k48k290，則k±1.所以直線l的方程為yx2或yx2.6已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為yx，右焦點(diǎn)F到直線x的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B、D兩點(diǎn)，已知A(1，0)，若·1，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切解：(1)依題意有，c，因?yàn)閍2b2c2，所以c2a，所以a1，c2，所以b23，所以雙曲線C的方程為x21.(2)證明：設(shè)直線l的方程為yxm(m>0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中點(diǎn)為M，由得2x22mxm230，所以x1x2m，x1x2，又因?yàn)?#183;1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，所以m0(舍)或m2，所以x1x22，x1x2，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，因?yàn)?#183;(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，所以ADAB，所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心，BD為直徑，因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以MAx軸，所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切8