（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第42講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第42講合情推理與演繹推理夯實(shí)基礎(chǔ)【p90】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2通過(guò)具體實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理3通過(guò)具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異【基礎(chǔ)檢測(cè)】1有一段演繹推理是這樣的：“直線(xiàn)平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線(xiàn)；已知直線(xiàn)b平面，直線(xiàn)a平面，直線(xiàn)b平面，則直線(xiàn)b直線(xiàn)a”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤D非以上錯(cuò)誤【解析】在推理過(guò)程“直線(xiàn)平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線(xiàn)；已知直線(xiàn)b平面，直線(xiàn)a平面，直線(xiàn)b平面，則直線(xiàn)b直線(xiàn)a”中，直線(xiàn)平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線(xiàn)為大前提，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)易得，直線(xiàn)平行于平面，則直線(xiàn)可與平面內(nèi)的直線(xiàn)平行、異面，這是一個(gè)假命題，故這個(gè)推理過(guò)程錯(cuò)誤的原因是：大前提錯(cuò)誤【答案】A2對(duì)大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式：2213，32135，421357，2335，337911，4313151719.根據(jù)上述分解規(guī)律，若m213511，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則mn()A10 B11 C12 D13【解析】m213511×636，m6，2335，337911，4313151719，532123252729，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，n353，n5，mn6511.【答案】B3在平面直角坐標(biāo)系中，方程1表示在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線(xiàn)，類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系中，在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c(abc0)的平面方程為()A.1 B.1C.1 Daxbycz1【解析】由類(lèi)比推理得：若平面在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a，b，c，則該平面的方程為：1.【答案】A4一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說(shuō)：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說(shuō)：“我沒(méi)有作案，是丙偷的”；丙說(shuō)：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說(shuō)：“乙說(shuō)的是事實(shí)”經(jīng)過(guò)調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說(shuō)的是真話(huà)，另外兩人說(shuō)的是假話(huà)，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A丁B丙C乙D甲【解析】甲乙丙丁甲乙丙丁由四名嫌疑人所說(shuō)，得上面的表，由于是兩對(duì)兩錯(cuò)，如果乙說(shuō)的是對(duì)的，則甲也對(duì)丁也對(duì)，不符所以乙說(shuō)假話(huà)，小偷不是丙同時(shí)丁說(shuō)的也是假話(huà)即甲、丙說(shuō)的是真話(huà)，小偷是乙【答案】C【知識(shí)要點(diǎn)】1合情推理歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱(chēng)為合情推理當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理叫_合情推理_數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的合情推理有：_歸納推理和類(lèi)比推理_(1)根據(jù)某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有的某些特征推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為_(kāi)歸納推理_(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納)簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為_(kāi)類(lèi)比推理_(簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比)簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理2演繹推理(1)定義：演繹推理是根據(jù)_已有的事實(shí)的正確的結(jié)論_(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)演繹推理的一般模式“三段論”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷典例剖析【p90】考點(diǎn)1歸納推理(1)已知x>0，不等式x2，x3，x4，可推廣為xn1，則a的值為()An2 Bnn C2n D22n2【解析】由題意，當(dāng)分母的指數(shù)為1時(shí)，分子為111；當(dāng)分母的指數(shù)為2時(shí)，分子為224；當(dāng)分母的指數(shù)為3時(shí)，分子為3327；據(jù)此歸納可得：xn1中，a的值為nn.【答案】B(2)觀察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推測(cè)，mnp_【解析】觀察得：式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，m1 2801 120np11，mnp162，又p10×550，m29512，n400，mnp962.【答案】962(3)如圖，第n個(gè)圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(n1，2，3，)，則在第n個(gè)圖形中共有()個(gè)頂點(diǎn)A(n1)(n2) B(n2)(n3)Cn2 Dn【解析】第一個(gè)圖形由三角形“擴(kuò)展”而來(lái)，共有頂點(diǎn)33×33×(31)；第二個(gè)圖形由四邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，共有頂點(diǎn)44×44×(41)；第三個(gè)圖形由五邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，共有頂點(diǎn)55×55×(51)；第四個(gè)圖形由六邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，共有頂點(diǎn)66×66×(61)；第n個(gè)圖形由n2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，共有頂點(diǎn)(n2)(n2)(n2)(n2)(n3)故選B.【答案】B【點(diǎn)評(píng)】歸納推理問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略常見(jiàn)類(lèi)型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)求解與式子有關(guān)的推理觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，找到規(guī)律后求解與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡钥键c(diǎn)2類(lèi)比推理(1)在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立類(lèi)比以上性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列bn中，若b91，則成立的等式是()Ab1·b2··bnb1·b2··b17n(n17，nN*)Bb1·b2··bnb1·b2··b18n(n18，nN*)Cb1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)Db1b2bnb1b2b18n(n18，nN*)【解析】在等差數(shù)列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n(n<17，nN*)，相應(yīng)的，在等比數(shù)列bn中，可得b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)【答案】A(2)已知邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O半徑為r，連接OA、OB、OC，則OAB、OBC、OAC的面積分別為cr, ar, br，由Scrarbr得r，類(lèi)比得四面體的體積為V，四個(gè)面的面積分別為S1, S2, S3, S4，則內(nèi)切球的半徑R_【解析】由條件可知，三角形的面積公式是利用等積法來(lái)計(jì)算的根據(jù)類(lèi)比可以得到，將四面體分解為四個(gè)小錐體，每個(gè)小錐體的高為內(nèi)切球的半徑，根據(jù)體積相等可得R(S1S2S3S4)V，即內(nèi)切球的半徑R.【答案】【點(diǎn)評(píng)】類(lèi)比推理的分類(lèi)及處理方法類(lèi)別解讀適合題型類(lèi)比定義在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類(lèi)比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解已知熟悉定義類(lèi)比新定義類(lèi)比性質(zhì)從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類(lèi)比推理型問(wèn)題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵平面幾何與立體幾何、等差數(shù)列與等比數(shù)列類(lèi)比方法有一些處理問(wèn)題的方法具有類(lèi)比性，可以把這種方法類(lèi)比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中，注意知識(shí)的遷移已知熟悉的處理方法類(lèi)比未知問(wèn)題的處理方法考點(diǎn)3演繹推理已知函數(shù)yx有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在(0，上是減函數(shù)，在(，)上是增函數(shù)(1)如果函數(shù)yx(x>0)的值域?yàn)?，)，求b的值；(2)研究函數(shù)yx2(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由【解析】(1)用三段論方式進(jìn)行說(shuō)明yx有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在(，)上是增函數(shù)又yx(x>0)中，2b>0為常數(shù)yx是“yx(a>0)型”函數(shù)，yx在上是減函數(shù)，在(，)上是增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，yx取最小值，又yx的值域?yàn)?，)，6，即3，2b9blog29.(2)設(shè)f(x)yx2，則xR且x0，有f(x)f(x)，故f(x)為偶函數(shù)先研究x>0時(shí)的單調(diào)性，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求x<0時(shí)的單調(diào)性當(dāng)x>0時(shí)，令tx2，則yt(c>0)，則yt在(0，)上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)yx2(x>0，c>0)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，得yx2在上是減函數(shù)，在，0)上是增函數(shù)【點(diǎn)評(píng)】演繹推理是一種必然性推理演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系，因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論方法總結(jié)【p91】1合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過(guò)程3演繹推理演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行4注意歸納和類(lèi)比的結(jié)論的可靠性有待于證明走進(jìn)高考【p91】1(2015·山東)觀察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此規(guī)律，當(dāng)nN*時(shí)，CCCC_【解析】觀察每行等式的特點(diǎn)，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個(gè)組合數(shù)的上標(biāo)相等，故有CCCC4n1.【答案】4n12(2017·全國(guó)卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則()A乙可以知道四人的成績(jī)B丁可以知道四人的成績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D乙、丁可以知道自己的成績(jī)【解析】依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績(jī)，但還是不知道自己的成績(jī)，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績(jī)后，必然知道自己的成績(jī)；丁知道甲的成績(jī)后，必然知道自己的成績(jī)，因此選擇D.【答案】D考點(diǎn)集訓(xùn)【p223】A組題1因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)是增函數(shù)，而ylogx是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ylogx是增函數(shù)，上面的推理錯(cuò)誤的是()A大前提B小前提C推理形式D以上都是【解析】大前提“對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)才是增函數(shù)【答案】A2下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是()A2n1 Bn21C2n1 D.【解析】由題圖知第n個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為123n.總個(gè)數(shù)為.【答案】D3在平面幾何中，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這個(gè)正三角形的高的.”拓展到空間中，類(lèi)比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體的高的()A.B.C.D.【解析】從平面圖形類(lèi)比空間圖形，從二維類(lèi)比三維，可得如下的結(jié)論：正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體高的，證明如下：球心到正四面體的一個(gè)面的距離即為球的半徑r，連接球心與正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，把正四面體分成四個(gè)高為r的三棱錐，所以4×·S·r·S·h，解得rh，所以正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體的高的.【答案】A4“現(xiàn)代五項(xiàng)”是由現(xiàn)代奧林匹克之父顧拜旦先生創(chuàng)立的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，包含射擊、擊劍、游泳、馬術(shù)和越野跑五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)已知甲、乙、丙共三人參加“現(xiàn)代五項(xiàng)”規(guī)定每一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的前三名得分都分別為a，b，c(a>b>c且a，b，cN*)，選手最終得分為各項(xiàng)得分之和已知甲最終得22分，乙和丙最終各得9分，且乙的馬術(shù)比賽獲得了第一名，則游泳比賽的第三名是()A甲B乙C丙D乙和丙都有可能【解析】射擊擊劍游泳馬術(shù)越野跑總分甲5552522乙111519丙222129總分為5(abc)229940，所以abc8，只有兩種可能5>2>1或4>3>1.顯然4>3>1不符，因?yàn)榧词刮鍌€(gè)第一名也不夠22分所以a5，b2，c1.所以由上面可知，甲其余四個(gè)選項(xiàng)都是第一名，馬術(shù)第二名，記2分，總共22分由于丙馬術(shù)第三名，記1分，所以其余四項(xiàng)均第二名，記2分，共9分乙馬術(shù)第一名，記5分，其余四項(xiàng)均第三名，記1分，共9分【答案】B5在正項(xiàng)等差數(shù)列中有成立，則在正項(xiàng)等比數(shù)列中，類(lèi)似的結(jié)論為_(kāi)【解析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，類(lèi)比題中的結(jié)論可得：在正項(xiàng)等比數(shù)列中，類(lèi)似的結(jié)論為.【答案】6甲、乙、丙三人到戶(hù)外植樹(shù)，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人澆水，他們的身高各不同，現(xiàn)了解到以下情況：甲不是最高的；最高的沒(méi)澆水；最矮的施肥；乙不是最矮的，也沒(méi)挖坑和填土可以判斷丙的分工是_(從挖坑和填土，施肥，澆水中選一項(xiàng))【解析】由可知，乙澆水，由可知，丙是最高的，所以丙的分工是挖坑和填土【答案】挖坑和填土7在銳角三角形ABC中，求證：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.【解析】ABC為銳角三角形，AB，AB，ysinx在上是增函數(shù)，sin Asincos B，同理可得sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.8將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成數(shù)表，如圖所示記表中各行的第一個(gè)數(shù)a1，a2，a4，a7，構(gòu)成數(shù)列bn，各行的最后一個(gè)數(shù)a1，a3，a6，a10，構(gòu)成數(shù)列cn，第n行所有數(shù)的和為Sn(n1，2，3，4，)已知數(shù)列bn是公差為d的等差數(shù)列，從第二行起，每一行中的數(shù)按照從左到右的順序，每一個(gè)數(shù)與它前面一個(gè)數(shù)的比是常數(shù)q，且a1a131，a31.(1)求數(shù)列cn，Sn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式【解析】(1)bndnd1，前n行共有123n個(gè)數(shù)，因?yàn)?33，所以a13b5×q2，即(4d1)q21，又因?yàn)?13，所以a31b8×q2，即(7d1)q2，解得d2，q，所以bn2n1，cnbn，Sn(2n1)·.(2)Tn，Tn.，得Tn1212×2，所以Tn3.B組題1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28 B76 C123 D199【解析】記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.【答案】C2如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線(xiàn)段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S(R2r2)(Rr)×2×.所以，圓環(huán)的面積等于以線(xiàn)段ABRr為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2×為長(zhǎng)的矩形面積請(qǐng)你將上述想法拓展到空間，并解決下列問(wèn)題：若將平面區(qū)域M(x，y)|(xd)2y2r2(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()A2r2d B22r2dC2rd2 D22rd2【解析】平面區(qū)域M的面積為r2，由類(lèi)比知識(shí)可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為實(shí)心的車(chē)輪內(nèi)胎，旋轉(zhuǎn)體的體積等于以圓(面積為r2)為底，以O(shè)為圓心、d為半徑的圓的周長(zhǎng)2d為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積Vr2×2d22r2d.【答案】B3分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹(shù)形圖：若記圖乙中第n行白圈的個(gè)數(shù)為an，則an_【解析】根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，第一行記為(1，0)，第二行記為(2，1)，第三行記為(5，4)，第四行的白圈數(shù)為2×5414；黑圈數(shù)為52×413，第四行的”坐標(biāo)”為(14，13)；第五行的”坐標(biāo)”為(41，40)，各行白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即11，31，91，271，811，可以歸納出第n行的白圈數(shù)為an(nN*)【答案】(nN*)4某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論【解析】(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)法一：三角恒等式為sin2cos2(30°)sin ·cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin ·cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin ·(cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sincos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：三角恒等式為sin2cos2(30°)sin ·cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin ·(cos 30°cos sin 30°sin )cos 2(cos 60°cos 2sin 60°sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.15