（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 階段強(qiáng)化練（六）（含解析）

階段強(qiáng)化練(六)一、選擇題1(2019·四川診斷)已知直線l和平面，若l，P，則過點(diǎn)P且平行于l的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B只有一條，且在平面內(nèi)C有無數(shù)條，一定在平面內(nèi)D有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)答案B解析假設(shè)過點(diǎn)P且平行于l的直線有兩條m與n，則ml且nl，由平行公理得mn，這與兩條直線m與n相交與點(diǎn)P相矛盾，故過點(diǎn)P且平行于l的直線只有一條，又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)，所以過點(diǎn)P且平行于l的直線只有一條且在平面內(nèi)故選B.2(2019·化州模擬)設(shè)m，n為兩條不同的直線，為平面，則下列結(jié)論正確的是()Amn，mnBmn，mnCmn，mnDmn，mn答案C解析對(duì)于A，若mn，m時(shí)，可能n或斜交，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，mn，mn或n，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，mn，mn，正確；對(duì)于D，mn，mn或n，故錯(cuò)誤故選C.3已知l平面，直線m平面.有下面四個(gè)命題：lm；lm；lm；lm.其中正確的命題是()ABCD答案D解析l，l，m，lm，故正確；lm，l，m，又m，故正確4.如圖所示，在四面體DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因?yàn)锳BBC，且E是AC的中點(diǎn)，所以BEAC.同理，DEAC.又BEDEE，所以AC平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC平面BDE.因?yàn)锳C平面ACD，所以平面ACD平面BDE.5(2019·唐山模擬)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案B解析在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，連接A1D，可得A1DB1C，所以異面直線A1B與B1C所成的角，即為直線A1B與直線A1D所成的角，即DA1B為異面直線A1B與B1C所成的角，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)ABBC2AA12，則A1BA1D，BD2，在A1BD中，由余弦定理得cosDA1B，故選B.6(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為()A1B.C.D.答案D解析如圖所示，連接A1D，AD1交于點(diǎn)O，連接OC1，在正方體中，AB平面AD1，ABA1D，又A1DAD1，且AD1ABA，A1D平面AD1C1B，A1C1O即為A1C1與平面ABC1D1所成的角，在RtA1C1O中，sinA1C1O，所以A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為，故選D.7(2019·湖南岳陽一中質(zhì)檢)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD，AA11，而對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P，使得APD1P取得最小值，則此最小值為()A2B3C1D.答案D解析把對(duì)角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn)至ABB1A1，使其與AA1B在同一平面上，連接AD1，在AA1D1中，AA11，A1D1，AA1D1AA1B90°150°，則APD1P的最小值為AD1.故選D.8(2019·湖南五市十校聯(lián)考)已知E，F(xiàn)分別是三棱錐PABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，AB6，PC6，EF3，則異面直線AB與PC所成的角為()A120°B45°C30°D60°答案D解析取AC的中點(diǎn)D，連接ED，F(xiàn)D，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是三棱錐PABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，所以EDPC，F(xiàn)DAB，則直線DE與直線DF所成的角即異面直線AB與PC所成的角，又因?yàn)锳B6，PC6，EF3，所以在DEF中，cosEDF，即EDF120°，所以異面直線AB與PC所成的角為60°.9(2019·淄博期中)魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為(容器壁的厚度忽略不計(jì))()A28B30C60D120答案B解析由題意知，該球形容器的半徑的最小值為，該球形容器的表面積的最小值為4×230.故選B.10(2019·安徽皖南八校聯(lián)考)已知一個(gè)三棱錐的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱所在直線是異面直線，則三棱錐的體積的最大值為()A.B.C.D.答案A解析如圖所示，在三棱錐ABCD中，ADa，BC，ABACBDCD1，則該三棱錐為滿足題意的三棱錐，將BCD看作底面，則當(dāng)平面ABC平面BCD時(shí)，該三棱錐的體積有最大值，此時(shí)三棱錐的高h(yuǎn)，BCD是等腰直角三角形，則SBCD，綜上可得，三棱錐的體積的最大值為××.故選A.11(2019·成都診斷)如圖，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1，現(xiàn)分別沿EF，GH將矩形折疊使得AD與BC重合，則折疊后的幾何體的外接球的表面積為()A24B6C.D.答案C解析由題意可知，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1，沿EF，GH將矩形折疊使得AD與BC重合后，所得幾何體是底面為等邊三角形的三棱柱底面等邊三角形的外接圓直徑2r，所以r，三棱柱的高為BC2，所以外接球的球心與底面的圓心距離為1，所以三棱柱的外接球半徑R，所以外接球的表面積為S4R2.故選C.12(2019·衡水中學(xué)模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)O為上底面的中心，過E，F(xiàn)，O三點(diǎn)的平面把正方體分為兩部分，其中含A1的部分為V1，不含A1的部分為V2，連接A1和V2的任一點(diǎn)M，設(shè)A1M與平面A1B1C1D1所成角為，則sin的最大值為()A.B.C.D.答案B解析連接EF，因?yàn)镋F平面ABCD，所以過EFO的平面與平面ABCD的交線一定是過點(diǎn)O且與EF平行的直線，過點(diǎn)O作GHBC交CD于點(diǎn)G，交AB于H點(diǎn)，則GHEF，連接EH，F(xiàn)G，則平行四邊形EFGH即為截面，則五棱柱A1B1EHAD1C1FGD為V1，三棱柱EBHFCG為V2，設(shè)M點(diǎn)為V2的任一點(diǎn)，過M點(diǎn)作底面A1B1C1D1的垂線，垂足為N，連接A1N，則MA1N即為A1M與平面A1B1C1D1所成的角，所以MA1N.因?yàn)閟in，要使的正弦值最大，必須MN最大，A1M最小，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合時(shí)符合題意故(sin)maxmax.故選B.二、填空題13已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為_答案解析由題意得，該圓柱底面圓周半徑r.該圓柱的體積為Vr2h2×1.14(2019·洛陽、許昌質(zhì)檢)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，AC2，BCCC1，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則A1PPC的最小值為_答案解析連接A1B，沿BC1將CBC1展開與A1BC1在同一個(gè)平面內(nèi)，在BC1上取一點(diǎn)與A1，C構(gòu)成三角形，三角形兩邊和大于第三邊，A1PPC的最小值是A1C的連線作展開圖如圖，由ACB90°，AC2，BCCC1，得AB，又AA1CC1，A1B2，BC12，A1C1AC2，A1BC145°，CBC145°，A1BC90°，A1C.15(2019·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_答案解析如圖所示，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1和B1C1的中點(diǎn)，則AB1，BC1的夾角為MN和NP的夾角或其補(bǔ)角，MNAB1，NPBC1，作BC的中點(diǎn)Q，則PQM為直角三角形，PQ1，MQAC，ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BC·cosABC412×2×1×7，AC，MQ，在MQP中，MP，在PMN中，由余弦定理得cosMNP，又異面直線所成角的范圍是，AB1與BC1所成角的余弦值為.16已知四面體ABCD，AB4，ACAD6，BACBAD60°，CAD90°，則該四面體外接球的半徑為_答案2解析如圖，設(shè)ADC的外心是O1，作BH平面ADC，易知H在AO1上，再作BMAC，垂足為M，連接MH，則MHAC，AO1DC3，AMMH2，AH2，設(shè)三棱錐的外接球的球心為O，半徑為R，OO1d，因?yàn)锳H2，BH2，所以在BOG中，由勾股定理可得R，即，解得d，所以R2.三、解答題17.(2019·葫蘆島協(xié)作校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，AA1平面ABC，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)(1)求證：AE平面A1BD；(2)求三棱錐B1A1BD的體積(1)證明ABBCCA，D是AC的中點(diǎn)，BDAC，AA1平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，又平面AA1C1C平面ABCAC，BD平面ABC，BD平面AA1C1C，BDAE.又在正方形AA1C1C中，D，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)，A1DAE.又A1DBDD，A1D，BD平面A1BD，AE平面A1BD. (2)解連接AB1交A1B于O，O為AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)B1到平面A1BD的距離等于點(diǎn)A到平面A1BD的距離××BD××2×1×.18(2019·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于A，B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在的平面，且AB2AD2.(1)求證：EAEC；(2)設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為F.證明：EFAB；若EF1，求三棱錐EADF的體積(1)證明平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BCAB，BC平面ABCD，BC平面ABE.又AE平面ABE，BCAE.E在以AB為直徑的半圓上，AEBE，又BEBCB，BC，BE平面BCE，AE平面BCE.又CE平面BCE，EAEC.(2)證明ABCD，AB平面CED，CD平面CED，AB平面CED.又AB平面ABE，平面ABE平面CEDEF，ABEF.解取AB的中點(diǎn)O，EF的中點(diǎn)O，在RtOOF中，OF1，OF，OO.由(1)得BC平面ABE，又已知ADBC，AD平面ABE.故VEADFVDAEF·SAEF·AD··EF·OO·AD.11