大學(xué)物理課件：振2 振動(dòng)合成 阻尼振動(dòng)

本次作業(yè)：11.33練習(xí)：11.28),cos(111tAx)cos(222tAx振動(dòng)合成振動(dòng)合成21xxx 在同一直線上同頻率的兩個(gè)簡諧在同一直線上同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)分別為：振動(dòng)分別為：代數(shù)方法：代數(shù)方法：tAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211令：令：coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA)cos()cos(2211tAtA代入上式：代入上式：合振幅合振幅一一 兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA)cos(tAxtAtAsinsincoscos)cos(tAtAAxcos)coscos(2211 兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)合成后仍然是兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)合成后仍然是一個(gè)簡諧振動(dòng)，且頻率不變。一個(gè)簡諧振動(dòng)，且頻率不變。tAAsin)sinsin(2211由由得：得：coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA11A1xx021xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻頻率簡諧運(yùn)動(dòng)率簡諧運(yùn)動(dòng)合成合成后仍為后仍為簡諧簡諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 旋轉(zhuǎn)矢量法：旋轉(zhuǎn)矢量法：xxtooA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k),2 1 0(，k)cos(212212221AAAAA 討論討論xxtoo21AAA)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差)12(12k),1 0(，ktAxcos11)cos(22tAx3 3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10(，k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)相互削弱相互削弱)12(12k)10(，k例例 兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)曲線兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)曲線(如圖所示如圖所示)（1）求合振動(dòng)的振幅；）求合振動(dòng)的振幅；（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。）求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。12AAA解：解：T20cos11A22110cos22A2222)22cos(12tTAAx2:由矢量圖x2A1AT)(1tx)(2txtO例：例：兩同方向、同頻率諧振動(dòng)兩同方向、同頻率諧振動(dòng),3cos41tx)3/3cos(22tx求：合成諧振動(dòng)方程。求：合成諧振動(dòng)方程。解：解：合成后合成后 不變，不變，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(24224227222112211coscossinsintanAAAA3/cos20cos43/sin20sin42115333.0合振動(dòng)方程：合振動(dòng)方程：)33.03cos(72tx11Axo二二 多個(gè)同方向同頻率簡諧多個(gè)同方向同頻率簡諧振振動(dòng)動(dòng)的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多個(gè)個(gè)同同方向方向同同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成合成仍為仍為簡諧簡諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx)1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2,1,(kkNk2 2）2kN1 1）2 k),2,1,0(k 個(gè)矢量依次相接構(gòu)個(gè)矢量依次相接構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)閉合閉合的多邊形的多邊形 .N討討論論三三 兩個(gè)同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方向同方向簡諧振動(dòng)的簡諧振動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍.演示演示合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論討論 ,的情況的情況 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一方法一2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）X2X1Xt0t0t0 xocos2212221AAAAA)()(1212t2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t 方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法12021t)(2122A2x2xAxo1A1x112t1t)(12t2cos2212221AAAAAt)(12)2cos(2121tA（拍在聲學(xué)和無線電技術(shù)中的應(yīng)用）（拍在聲學(xué)和無線電技術(shù)中的應(yīng)用）Axxt21cos22112拍頻拍頻)cos1(21 AA振幅振幅 振動(dòng)圓頻率振動(dòng)圓頻率四四 兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的合成兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡)cos(11tAx)cos(22tAy （橢圓方程）（橢圓方程）222sinsincoscosttAy111sinsincoscosttAx2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAyxy1A2Ao1 1）或或2012xAAy12yx1A2Ao 討論討論yx1A2Ao用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖垂直同頻垂直同頻簡簡諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差五五 兩相互垂直不同頻率的簡諧兩相互垂直不同頻率的簡諧振振動(dòng)的合成動(dòng)的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201測量振動(dòng)頻率測量振動(dòng)頻率和相位的方法和相位的方法李李 薩薩 如如 圖圖makxv0dddd22kxtxtxm0dd2dd2022xtxtx一一 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)vrF阻尼力阻尼力mk0m2固有角頻率固有角頻率阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)阻力系數(shù)阻力系數(shù)ttececx)(2)(12022021.欠阻尼振動(dòng)欠阻尼振動(dòng)-阻尼很小阻尼很小0202為虛數(shù)，令為虛數(shù)，令220)(21tititececex)cos(tAextA 與與 由初始條件確定。由初始條件確定。通解：通解：1i可寫成可寫成阻尼較小時(shí)，阻尼較小時(shí)，2020020)(xvxA0000)(tanxxv220)cos(tAext阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線AAtOx)0(tAeTtAetcos振幅項(xiàng)振幅項(xiàng)tAe隨時(shí)間指數(shù)規(guī)律衰減。隨時(shí)間指數(shù)規(guī)律衰減。周期因子周期因子)cos(t振動(dòng)周期振動(dòng)周期2T02202TT2200由通解由通解ttececx)(2)(1202202ttececx)(2)(1202兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動(dòng)。兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動(dòng)。如如:單擺放在粘滯的單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置油筒中擺到平衡位置須很長時(shí)間。須很長時(shí)間。21CC，其中其中 是積分是積分常數(shù)，由初始條件常數(shù)，由初始條件來決定，來決定，無振動(dòng)發(fā)生。無振動(dòng)發(fā)生。不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)。不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)。otxotx過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼0ttececx)(2)(12022020220通解通解teccx)(21衰減函數(shù)衰減函數(shù)臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時(shí)臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過平衡間最短，但仍不能超過平衡位置。位置。otx 臨界阻尼情況是振動(dòng)系統(tǒng)剛臨界阻尼情況是振動(dòng)系統(tǒng)剛剛不能作準(zhǔn)周期振動(dòng)，而很剛不能作準(zhǔn)周期振動(dòng)，而很快回到平衡位置的情況，應(yīng)快回到平衡位置的情況，應(yīng)用在天平調(diào)衡中。用在天平調(diào)衡中。驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力tHkxtxtxmcosdddd22二二 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)mk0m2mHh thxtxtxcosdd2dd2022)cos()cos(0tAteAxrt驅(qū)動(dòng)力的角頻率驅(qū)動(dòng)力的角頻率續(xù)30受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)后，其振動(dòng)角頻率為強(qiáng)迫力的角頻率，其振幅為 受迫振動(dòng)與強(qiáng)迫力有一定的相位差 開始振動(dòng)比較復(fù)雜經(jīng)過一段時(shí)間后，受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。)cos()cos(0tAteAxrt222204)(hA2202tan04dddd222220hA求極值：求極值：)cos(tAx222204)(hA三三 共振共振thxtxtxcosdd2dd2022在一定條件下在一定條件下,振幅出現(xiàn)振幅出現(xiàn) 極大值極大值,振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。1.位移共振位移共振A0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼R 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 越小，越小，共振角頻率共振角頻率 R越接近越接近于系統(tǒng)的固有頻率于系統(tǒng)的固有頻率 0 ，同時(shí)共振振幅，同時(shí)共振振幅AR也越大。也越大。結(jié)論：220R2共振頻率共振頻率220R2hA共振振幅共振振幅共振演示實(shí)驗(yàn)共振演示實(shí)驗(yàn)236145220R2 共振頻率共振頻率220R2hA 共振振幅共振振幅 共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用樂器、收音機(jī)樂器、收音機(jī) 單擺單擺1作垂直于紙面作垂直于紙面的簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺5將將作相同周期的簡諧運(yùn)動(dòng)，作相同周期的簡諧運(yùn)動(dòng)，其它單擺基本不動(dòng)其它單擺基本不動(dòng).tAsinv受迫振動(dòng)的速度：受迫振動(dòng)的速度：2222204hAmaxv速度幅：速度幅：0時(shí)，速度幅極大時(shí)，速度幅極大在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的初相位為初相位為 2tAcosv結(jié)論：結(jié)論：速度和驅(qū)動(dòng)力有相同的相速度和驅(qū)動(dòng)力有相同的相位。即策動(dòng)力對振動(dòng)系統(tǒng)始終做位。即策動(dòng)力對振動(dòng)系統(tǒng)始終做正功。正功。速度共振速度共振又稱能量共振！又稱能量共振！2.速度共振速度共振一定條件下一定條件下,速度幅速度幅 A極大的現(xiàn)象。極大的現(xiàn)象。小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)生共振而斷塌生共振而斷塌 我國四川綦江彩虹橋的斷裂：我國四川綦江彩虹橋的斷裂：武警跑步（引起共振）武警跑步（引起共振）質(zhì)量太差，質(zhì)量太差，1940年年華盛頓的塔科曼華盛頓的塔科曼大橋大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生振動(dòng)在大風(fēng)中產(chǎn)生振動(dòng) 附附 教材教材受迫振動(dòng)振幅、相位公式：受迫振動(dòng)振幅、相位公式：由方程：由方程：thxtxtx cosdd2dd2022 (3)有穩(wěn)態(tài)解有穩(wěn)態(tài)解)cos(tAx (4)推導(dǎo)的思路：推導(dǎo)的思路：)1(4)(21 222220hA)2(2tan2201將穩(wěn)態(tài)解（將穩(wěn)態(tài)解（4）式）式改寫改寫為為：abbaAAbAatansincos22，(*)得得tAtAx sinsincoscos tbta sin cos (*)令令 將（將（*）代入微分方程（）代入微分方程（3），），02)(220 ab hba 2)(220由上二式解得由上二式解得a、b后，后，再代入到（再代入到（*）式中，）式中，前系數(shù)應(yīng)相等，前系數(shù)應(yīng)相等，t sint cos，即得即得A、的公式（的公式（1）和（）和（2）。）。振動(dòng)部分結(jié)束振動(dòng)部分結(jié)束因等式雙方因等式雙方于是有：于是有：