（新課標(biāo) 全國I卷）2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題07 立體幾何（2）文（含解析）

專題7 立體幾何（2）立體幾何大題：10年10考，每年1題第1小題多為證明垂直問題，第2小題多為體積計(jì)算問題（2014年是求高）1（2019年）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)（1）證明：MN平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離【解析】（1）連結(jié)B1C，ME，M，E分別是BB1，BC的中點(diǎn)，MEB1C，又N為A1D的中點(diǎn)，NDA1D，由題設(shè)知A1B1DC，B1CA1D，MEND，四邊形MNDE是平行四邊形，MNED，又MN平面C1DE，MN平面C1DE（2）過C作C1E的垂線，垂足為H，由已知可得DEBC，DEC1C，DE平面C1CE，故DECH，CH平面C1DE，故CH的長即為C到時(shí)平面C1DE的距離，由已知可得CE1，CC14，C1E，故CH，點(diǎn)C到平面C1DE的距離為2（2018年）如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90°，以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQDA，求三棱錐QABP的體積【解析】（1）在平行四邊形ABCM中，ACM90°，ABAC，又ABDA且ADACA，AB面ADC，AB面ABC，平面ACD平面ABC；（2）ABAC3，ACM90°，ADAM，BPDQDA，由（1）得DCAB，又DCCA，DC面ABC，三棱錐QABP的體積V13（2017年）如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90°（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90°，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積【解析】（1）在四棱錐PABCD中，BAPCDP90°，ABPA，CDPD，又ABCD，ABPD，PAPDP，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD（2）設(shè)PAPDABDCa，取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，PAPDABDC，APD90°，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且AD，PO，四棱錐PABCD的體積為，由AB平面PAD，得ABAD，VPABCD，解得a2，PAPDABDC2，ADBC，PO，PBPC，該四棱錐的側(cè)面積：S側(cè)SPAD+SPAB+SPDC+SPBC+6+4（2016年）如圖，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G（1）證明：G是AB的中點(diǎn)；（2）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積【解析】（1）PABC為正三棱錐，且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影，PD平面ABC，則PDAB，又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，DE面PAB，則DEAB，PDDED，AB平面PDE，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G，則ABPG，又PAPB，G是AB的中點(diǎn)；（2）在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心由（1）知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CDCG由題設(shè)可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6，可得DE2，PG，PE在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2所以四面體PDEF的體積V×DE×SPEF×2××2×25（2015年）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD（1）證明：平面AEC平面BED；（2）若ABC120°，AEEC，三棱錐EACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積【解析】（1）四邊形ABCD為菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，則AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；（2）設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，得AGGCx，GBGD，BE平面ABCD，BEBG，則EBG為直角三角形，EGACAGx，則BEx，三棱錐EACD的體積V，解得x2，即AB2，ABC120°，AC2AB2+BC22ABBCcosABC4+42×12，即AC，在三個(gè)直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜邊AEECED，AEEC，EAC為等腰三角形，則AE2+EC2AC212，即2AE212，AE26，則AE，從而得AEECED，EAC的面積S3，在等腰三角形EAD中，過E作EFAD于F，則AE，AF，則EF，EAD的面積和ECD的面積均為S，故該三棱錐的側(cè)面積為3+6（2014年）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO平面BB1C1C（1）證明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB160°，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高【解析】（1）連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)，側(cè)面BB1C1C為菱形，BC1B1C，AO平面BB1C1C，AOB1C，AOBC1O，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB；（2）作ODBC，垂足為D，連接AD，作OHAD，垂足為H，BCAO，BCOD，AOODO，BC平面AOD，OHBC，OHAD，BCADD，OH平面ABC，CBB160°，CBB1為等邊三角形，BC1，OD，ACAB1，OAB1C，由OHADODOA，可得AD，OH，O為B1C的中點(diǎn)，B1到平面ABC的距離為，三棱柱ABCA1B1C1的高7（2013年）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°（1）證明：ABA1C；（2）若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的體積【解析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB由于ABAA1，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C；（2）由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以又，則，故OA1OC因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1平面ABC，OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積，故三棱柱ABCA1B1C1的體積8（2012年）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90°，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：平面BDC1平面BDC（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【解析】（1）由題意知BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC由題設(shè)知A1DC1ADC45°，CDC190°，即DC1DC，又DCBCC，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC；（2）設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，AC1，由題意得V1，又三棱柱ABCA1B1C1的體積V1，（VV1）：V11：1，平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1：19（2011年）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD（1）證明：PABD；（2）設(shè)PDAD1，求棱錐DPBC的高【解析】（1）因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得BD，從而BD2+AD2AB2，故BDAD，又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD故PABD（2）解：作DEPB于E，已知PD底面ABCD，則PDBC，由（1）知，BDAD，又BCAD，BCBD故BC平面PBD，BCDE，則DE平面PBC由題設(shè)知PD1，則BD，PB2根據(jù)DEPBPDBD，得DE，即棱錐DPBC的高為10（2010年）如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高（1）證明：平面PAC平面PBD；（2）若AB，APBADB60°，求四棱錐PABCD的體積【解析】（1）因?yàn)镻H是四棱錐PABCD的高所以ACPH，又ACBD，PH，BD都在平PHD內(nèi)，且PHBDH所以AC平面PBD故平面PAC平面PBD（2）因?yàn)锳BCD為等腰梯形，ABCD，ACBD，AB所以HAHB因?yàn)锳PBADB60°，所以PAPB，HDHC1可得PH等腰梯形ABCD的面積為SACBD2+，所以四棱錐的體積為V×（2+）× 11