（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學歸納法練習 理（含解析）新人教A版

第44講數(shù)學歸納法夯實基礎【p94】【學習目標】了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題【基礎檢測】1一個關于自然數(shù)n的命題，如果驗證當n1時命題成立，并在假設當nk(k1且kN*)時命題成立的基礎上，證明了當nk2時命題成立，那么綜合上述，對于()A一切正整數(shù)命題成立B一切正奇數(shù)命題成立C一切正偶數(shù)命題成立D以上都不對【解析】本題證的是對n1，3，5，7，命題成立，即命題對一切正奇數(shù)成立【答案】B2用數(shù)學歸納法證明1n(nN*，n1)，第一步應驗證不等式()A12B13C13D12【解析】因n2，故應驗證n2，應選D.【答案】D3用數(shù)學歸納法證明“2n>n21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明n的起始值n0應取_【解析】當n1時，21121；當n2時，22<221；當n3時，23<321；當n4時，24<421；而當n5時，25>521.n05.【答案】54設數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有(Sn1)2anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn_【解析】由(S11)2S，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.猜想：Sn.【答案】【知識要點】1歸納法由一系列有限的_特殊事例_得出_一般性結論_的推理方法叫做歸納法2數(shù)學歸納法對某些與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題常采用下面的方法來證明它的正確性，先證明當n取第1個值n0時，命題成立；然后假設當nk(kN*，kn0)時命題成立，證明當nk1時命題也成立，這種證明方法叫做_數(shù)學歸納法_3數(shù)學歸納法證明步驟(1)數(shù)學歸納法的證題步驟一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(歸納奠基)證明當n取_第一個值n0_時命題成立(歸納遞推)假設_nk_(kn0，kN*)時命題成立，再證明當_nk1_時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以判定命題對從_n0_開始的所有正整數(shù)n都成立(2)用框圖表示數(shù)學歸納法的步驟假設_nk(kn0且kN*)_時結論成立，推得_nk1_時結論亦成立典例剖析【p94】考點1用數(shù)學歸納法證明等式設f(n)1(nN*)用數(shù)學歸納法證明：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)【解析】(1)當n2時，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設nk(k2，kN*)時，結論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當nk1時結論仍然成立由(1)(2)可知f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)【點評】用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的一些等式命題，關鍵在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律；等式的兩邊各有多少項，由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項；難點在于尋求等式中nk和nk1時之間的聯(lián)系考點2用數(shù)學歸納法證明不等式已知Sn1(n>1，nN*)，用數(shù)學歸納法證明：S2n>1(n2，nN*)【解析】(1)當n2時，S2nS41>1，即n2時命題成立；(2)假設當nk(k2，kN*)時命題成立，即S2k1>1，則當nk1時，S2k11>1>111，故當nk1時，命題成立由(1)和(2)可知，對n2，nN*，不等式S2n>1都成立【點評】用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的兩個問題：(1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明考點3用數(shù)學歸納法證明整除性問題設nN*，f(n)3n7n2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)證明：對任意正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù)【解析】(1)代入求出f(1)8，f(2)56，f(3)368. (2)當n1時，f(1)8是8的倍數(shù)，命題成立. 假設當nk(k1，kN*)時命題成立，即f(k)3k7k2是8的倍數(shù)，那么當nk1時，f(k1)3k17k123(3k7k2)4(7k1)，因為7k1是偶數(shù)，所以4(7k1)是8的倍數(shù)，又由歸納假設知3(3k7k2)是8的倍數(shù)，所以f(k1)是8的倍數(shù)，所以當nk1時，命題也成立根據(jù)知命題對任意nN*成立考點4歸納猜想證明已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an(nN)(1)試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式；(2)證明你的猜想，并求出an的表達式【解析】(1)anSnSn1(n2)，Snn2(SnSn1)，SnSn1(n2)a11，S1a11，S2，S3，S4，猜想Sn.(2)證明：當n1時，S11，1等式成立假設當nk(k1，kN)時，等式成立，即Sk.當nk1時，Sk1(k1)2·ak1ak1Skak1，ak1·，Sk1(k1)2·ak1(k1)2·，nk1時，等式也成立綜上知，對于任意nN，Sn都成立又ak1，an.【點評】解決數(shù)學歸納法中“歸納猜想證明”問題及不等式證明時，有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：(1)歸納整理不到位得不出正確結果，從而給猜想造成困難(2)證明nk到nk1這一步時，忽略了假設條件去證明，造成使用的不是純正的數(shù)學歸納法(3)不等式證明過程中，不能正確合理地運用分析法、綜合法來求證另外需要熟練掌握數(shù)學歸納法中幾種常見的推證技巧，只有這樣，才能快速正確地解決問題方法總結【p95】1數(shù)學歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關的命題的一種方法它是一種完全歸納法，是對不完全歸納法的完善2證明代數(shù)恒等式的關鍵是第二步，將式子轉化成與歸納假設的結構相同的形式湊假設，然后利用歸納假設，經(jīng)過恒等變形，得到結論所需要的形式湊結論3用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是第二步，利用證明不等式的方法(如放縮)把式子化為nk1成立時的式子4用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，要注意結合幾何圖形的性質(zhì)，在求由“nk到nk1”增加的元素個數(shù)時，可以先用不完全歸納法找其變化規(guī)律5由有限個特殊事例進行歸納、猜想，而得出一般性結論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法，研究與正整數(shù)有關的數(shù)學問題，此方法尤為重要，如猜想數(shù)列的通項an或前n項和Sn，解決與自然數(shù)有關的探索性、開放性問題等猜想必須準確，證明必須正確既用到合情推理，又用到演繹推理猜想的準確與否可用證明來檢驗，否則不妨再分析，再猜想，再證明，猜想是證明的前提，證明可論證猜想的可靠性，二者相輔相成走進高考【p95】1(2017·浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)證明：當nN*時，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.【解析】(1)用數(shù)學歸納法證明：xn>0.當n1時，x11>0，假設nk(k1，kN*)時，xk>0，那么nk1時，若xk10，則0<xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk1>0，因此xn>0(nN*)，所以xnxn1ln(1xn1)>xn1，因此0<xn1<xn(nN*)(2)由xnxn1ln(1xn1)>xn1得xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)，則f(x)2x2ln(1x)ln(1x)0，所以函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，2xn1xn(nN*)(3)因為xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn，由(2)得2xn1xn，2，22n12n2，故xn，xn(nN*)考點集訓【p227】A組題1用數(shù)學歸納法證明：1<n(nN*，n>1)時，在第二步證明從nk到nk1成立時，左邊增加的項數(shù)是()A2k B2k1C2k1 D2k1【解析】因為2k112k12k，所以左邊增加的項數(shù)是2k.【答案】A2用數(shù)學歸納法證明不等式1(nN*)成立，n的初始值至少應取()A7 B8 C9D10【解析】左邊12，代入驗證可知n的最小值是8.【答案】B3用數(shù)學歸納法證明不等式“>(n>2)”的過程中，由nk到nk1(k>2)時，不等式的左邊()A增加了一項B增加了兩項C增加了一項，又減少了一項D增加了兩項，又減少了一項【解析】當nk時左邊的代數(shù)式為，共有k項，當nk1時，左邊的代數(shù)式為，共有k1項，故用nk1時左邊的代數(shù)式減去nk時左邊的代數(shù)式的結果，即為不等式的左邊增加的項【答案】D4用數(shù)學歸納法證明“34n152n1能被8整除”時，當nk1時，對于34(k1)152(k1)1可變形為()A56·34k125B34k152k1C34×34k152×52k1D25【解析】當nk1時，34(k1)152(k1)134×34k125×52k156·34k125，兩個表達式都能被8整除【答案】A5利用數(shù)學歸納法證明不等式>(n>1，nN*)的過程中，用nk1時左邊的代數(shù)式減去nk時左邊的代數(shù)式的結果為_. 【解析】nk時，不等式為>，nk1時，不等式為>，兩式相減后，左邊為.【答案】6設數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項公式，并給出證明【解析】(1)當n1時，方程x2a1xa10有一根為S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.當n2時，方程x2a2xa20有一根為S21a1a21a2，a2a20，解得a2.(2)由題意知(Sn1)2an(Sn1)an0，當n2時，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用數(shù)學歸納法證明這個結論當n1時，S1，結論成立假設nk(kN*，k1)時結論成立，即Sk.當nk1時，Sk1.即當nk1時結論成立由知Sn對任意的正整數(shù)n都成立7已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當n1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大小關系；(2)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并給出證明【解析】(1)當n1時，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當n2時，f(2)，g(2)，所以f(2)<g(2)；當n3時，f(3)，g(3)，所以f(3)<g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學歸納法給出證明當n1，2，3時，不等式顯然成立；假設當nk(k3，kN*)時不等式成立即1<，那么，當nk1時，f(k1)f(k)<，因為<0，所以f(k1)<g(k1)由可知，對一切nN*，都有f(n)g(n)成立B組題1設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當k4時，均有f(k)k2成立【解析】f(k)k2成立時，f(k1)(k1)2成立，f(4)16時，有f(5)52，f(6)62，f(k)k2成立【答案】D2設平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)_；當n>4時，f(n)_(用n表示)【解析】f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)(n>4)【答案】5；(n1)(n2)(n>4)3設平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)_，f(n)_(n1，nN*)【解析】易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1個圓周，為了得到盡可能多的平面區(qū)域，第n1個圓應與前面n個圓都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第n1個圓周分成2n段，每段都把原來的每一片劃分成2片，共增加了2n片平面區(qū)域，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，從而f(n)n2n2.【答案】4；n2n24已知點Pn(an，bn)滿足an1an·bn1，bn1(nN*)，且點P1的坐標為(1，1)(1)求過點P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學歸納法證明：對于nN*，點Pn都在(1)中的直線l上【解析】(1)由題意得a11，b11，b2，a21×，P2.直線l的方程為，即2xy1.(2)當n1時，2a1b12×1(1)1成立假設nk(kN*)時，2akbk1成立當nk1時，2ak1bk12ak·bk1bk1·(2ak1)1，當nk1時，2ak1bk11也成立由知，對于nN*，都有2anbn1，即點Pn都在直線l上11