（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點(diǎn) 1.4 平面向量練習(xí) 理

1.4平面向量命題角度1平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2018全國·6)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如圖,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2017全國·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=AB+AD,則+的最大值為()A.3B.22C.5D.2答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,1),B(0,0),D(2,1).設(shè)P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD|BD|=2×15=255,即圓的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.設(shè)z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45上,所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故選A.3.(2015全國·7)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案A解析如圖:AD=AB+BD,BC=3CD,AD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+43AC.4.(2015全國·13)設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)=. 答案12解析由題意知存在常數(shù)tR,使a+b=t(a+2b),得=t,1=2t,解之得=12.典題演練提能·刷高分1.已知兩個非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+b共線,則實(shí)數(shù)的值為()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b與n=2a+b共線,存在實(shí)數(shù)t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共線.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故選C.2.在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),BE與AC的交點(diǎn)為F,設(shè)AB=a,AD=b,則向量BF=()A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案C解析BF=23BE=23(BC+CE)=23(b-12a)=-13a+23b,故選C.3.(2019寧夏平羅中學(xué)高三期中)已知數(shù)列an是正項(xiàng)等差數(shù)列,在ABC中,BD=tBC(tR),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為()A.1B.12C.14D.18答案C解析BD=tBC,故B,C,D三點(diǎn)共線.AD=a3AB+a5AC,a3+a5=1,數(shù)列an是正項(xiàng)等差數(shù)列,故a3>0,a5>0,1=a3+a52a3a5,解得a3a514,故選C.4.(2019山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校高三聯(lián)考)如圖RtABC中,ABC=2,AC=2AB,BAC平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D,設(shè)AB=a,AC=b,則向量AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案C解析設(shè)圓的半徑為r,在RtABC中,ABC=2,AC=2AB,所以BAC=3,ACB=6,BAC平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D,所以ACB=BAD=CAD=6,則根據(jù)圓的性質(zhì)有BD=CD=AB.又因?yàn)樵赗tABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故選C.5.已知在ABC中,D為邊BC上的點(diǎn),且BD=3DC,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),BE=mAB+nAC,則m+n=. 答案-12解析如圖所示,BE=BD+DE=BD-12AD=BD-12(AB+BD)=12BD-12AB=12·34BC-12AB=38BC-12AB=38(AC-AB)-12AB=-78AB+38AC.又BE=mAB+nAC,所以mAB+nAC=-78AB+38AC,所以m+78AB+n-38AC=0.又因?yàn)锳B與AC不共線,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.6.在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O,P,Q,R為同一平面內(nèi)的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是:存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉栴}:如圖,在ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+yAF,則x+y=. 答案75解析B,M,F三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC,又E,M,C三點(diǎn)共線,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.命題角度2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2019全國·3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=()A.-3B.-2C.2D.3答案C解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故選C.2.(2016全國·3)已知向量BA=12,32,BC=32,12,則ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析由題意得cosABC=BA·BC|BA|BC|=12×32+32×121×1=32,所以ABC=30°,故選A.3.(2018全國·13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=. 答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.4.(2016全國·13)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=. 答案-2解析|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.典題演練提能·刷高分1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),則t=()A.0B.12C.-2D.-3答案C解析因?yàn)閍-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因?yàn)?a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故選C.2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若bc,則實(shí)數(shù)t=()A.1B.-1C.2D.2答案A解析由題意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),bc,b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故選A.3.已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,則|c|=()A.26B.32C.10D.6答案B解析a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b=(3,3),|c|=9+9=32,故選B.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,則=. 答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.向量BA=(1,2),CABA,且|CA|=25,則BC的坐標(biāo)為. 答案(3,6)或(-1,-2)解析CABA,CA=tBA=(t,2t).又|CA|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=±2.當(dāng)t=2時,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);當(dāng)t=-2時,BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6).命題角度3計(jì)算平面向量的數(shù)量積高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2018全國·4)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.(2018全國·8)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=()A.5B.6C.7D.8答案D解析易知F(1,0),過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線方程為y=23(x+2).聯(lián)立拋物線方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨設(shè)M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=8.3.(2017全國·12)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,32時,PA·(PB+PC)取得最小值為-32,故選B.4.(2016天津·7)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58B.18C.14D.118答案B解析設(shè)BA=a,BC=b,則DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故AF·BC=-54a·b+34b2=-58+34=18,應(yīng)選B.5.(2017天津·13)在ABC中,A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且AD·AE=-4,則的值為. 答案311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4.AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23AB·AC=-4,23×4-13×9+3-23×3=-4,即113-5=-4,解得=311.典題演練提能·刷高分1.點(diǎn)B是以線段AC為直徑的圓上的一點(diǎn),其中|AB|=2,則AC·AB=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圓的性質(zhì)知ABC=90°,所以cosBAC=BAAC=|BA|AC|,所以AC·AB=|AC|·|AB|·cosBAC=|AC|·|AB|·|AB|AC|=|AB|2=4,故選D.2.在ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點(diǎn),則AM·AN=()A.109B.209C.89D.83答案B解析|AB+AC|=|AB-AC|,BAC=90°.又M,N分別為BC的三等分點(diǎn),AM·AN=AB+13BC·AC+13CB=AB·AC+13AB·CB+13BC·AC+19BC·CB=0+13×1×10×110+13×10×3×310-19×10×10=13+3-109=209.故選B.3.如圖,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,BAD=60°,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),則AE·EF=()A.12B.-32C.32D.-12答案D解析在菱形ABCD中邊長為2,BAD=60°,AB·AD=2×2×cos60°=2,又AE=AB+BE=AB+12AD,EF=12BD=12(AD-AB),AE·EF=(AB+12AD)·12(AD-AB)=1212AD2+12AB·AD-AB2=1212×4+12×2-4=-12,故選D.4.(2019河北棗強(qiáng)中學(xué)高三一模)已知ABC中,|BC|=2,BA·BC=-2.點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn),則PC·(PA+PB+PC)的最小值為()A.2B.-34C.-2D.-2512答案D解析以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系.可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a,0),A(x,y),由BA·BC=-2,可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y0,則PC·(PA+PB+PC)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,當(dāng)a=16時,PC·(PA+PB+PC)的最小值為-2512.故選D.5.在ABC中,C=90°,|AB|=6,點(diǎn)P滿足|CP|=2,則PA·PB的最大值為()A.9B.16C.18D.25答案B解析取AB的中點(diǎn)D,連接CD.設(shè)PC與CD的夾角為,則PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+PC·(CA+CB)+CA·CB=PC2+PC·(CA+CB)=22+PC·2CD=4+2PC·CD=4+2|PC|·|CD|cos=4+2×2×3cos=4+12cos,所以當(dāng)=00時,PA·PB的最大值為16.故選B.6.已知菱形ABCD的一條對角線BD長為2,點(diǎn)E滿足AE=12ED,點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),若AD·BE=-2,則CD·AF=. 答案-7解析如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-23t,13,Ft2,12,AD=(t,1),BE=-23t,43,CD=(-t,1),AF=3t2,12,AD·BE=-2,-23t2+43=-2,解得t2=5,CD·AF=-32t2+12=-7.命題角度4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用高考真題體驗(yàn)·對方向1.(2019全國·7)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為()A.6B.3C.23D.56答案B解析因?yàn)?a-b)b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.所以cos<a,b>=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,所以a與b的夾角為3,故選B.2.(2019全國·13)已知a,b為單位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,則cos<a,c>=.答案23解析a,b為單位向量,|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,|c|=3.又a·c=2|a|2-5a·b=2,cos<a,c>=a·c|a|·|c|=21×3=23.3.(2017山東·12)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,若3e1-e2與e1+e2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)的值是. 答案33解析e1,e2是互相垂直的單位向量,可設(shè)a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).則<a,b>=60°.cos<a,b>=cos60°=a·b|a|b|=3-22+1=12,即3-=2+1,解得=33.典題演練提能·刷高分1.如圖,在ABC中,N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn),點(diǎn)P在BN上且AP=m+211AB+211BC,則實(shí)數(shù)m的值為()A.1B.12C.911D.511答案D解析N為線段AC上靠近A的三等分點(diǎn),AN=13AC.設(shè)BP=BN,AP=AB+BP=AB+BN=AB+(AN-AB)=(1-)AB+AN=(1-)AB+3AC.AP=m+211AB+211BC=mAB+211(AB+BC)=mAB+211AC,1-=m,3=211,m=1-611=511.2.已知向量a,b滿足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影為-2,則|a|=()A.2B.23C.4D.12答案A解析由|a-b|=3,即|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b=-9-a2-b22=|a|2+|b|2-92=|a|2-82,由向量a在向量b方向上的投影為-2,則a·b|b|=|a|2-82=-2,即|a|2=4,所以|a|=2,故選A.3.在ABC中,若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,則ABC是()A.等邊三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形答案D解析在ABC中,AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,AB2=AB·AC-AB·BC+CA·CB=AB·(AC-BC)+CA·CB,AB2=AB2+CA·CB,CA·CB=0,C=90°,ABC為直角三角形,故選D.4.已知向量a,b滿足|b|=5,|2a+b|=53,|a-b|=52,則|a|=. 答案563解析由已知有4a2+4a·b+b2=75,a2-2a·b+b2=50,將b2=|b|2=25代入方程組,解得|a|=563.5.在ABC中,AB=3,BC=2AC=2,滿足|BA-tBC|3|AC|的實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 答案0,32解析ABC中,AB=3,BC=2AC=2,即AC=1.AB2+AC2=BC2,ABC為直角三角形,A=90°,B=30°.由|BA-tBC|3|AC|得BA2-2tBA·BC·cos<BA,BC>+t2BC23AC2,3-2t·23·32+4t23,整理,得2t2-3t0,解得0t32.實(shí)數(shù)t的取值范圍是0,32.19