線性方程組n維向量.ppt

1,第二節(jié)：n維向量.,當(dāng)線性方程組有無窮多解時，這些解之間的關(guān)系如何？以及如何表示這些解？是我們關(guān)心的問題，在這一節(jié)我們將引入n維向量的概念，并研究向量間的線性關(guān)系以解決這一問題。,本節(jié)主要討論以下兩個問題：1.n維向量空間的定義。2.n維向量間的線性關(guān)系，主要有線性表示，線性相關(guān)，線性無關(guān)，以及它們之間的關(guān)系。,2,向量一般用小寫希臘字母表示。,一.n維向量及其線性關(guān)系。,n維向量。,3,前者稱為n維行向量,后者稱為n維列向量。向量是數(shù)學(xué)中的一個極為重要的概念,在數(shù)學(xué)的各分支及其它學(xué)科中，向量的概念及有關(guān)性質(zhì)都有廣泛的應(yīng)用。,n維向量是平面(空間)解析幾何中，2(3)維幾何向量的推廣，只不過當(dāng)n3時，它沒有幾何上的直觀意義，只是沿用幾何上的術(shù)語而已。,例如，導(dǎo)彈在空中飛行時的每一個壯態(tài)均可看成一個七維向量，,其中m表示導(dǎo)彈的質(zhì)量，,4,例1.線性方程組,的一組解,也可以記為c1c2cn并且稱是線性方程組的一個解向量，簡稱是線性方程組的一個解。,5,向量運算:1.加法：,6,由向量的加法與負向量的定義，還可以定義向量的減法運算，,2.數(shù)乘：(數(shù)與向量的乘法),向量的加法與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算,由定義不難證明向量的線性運算適合下述八條運算性質(zhì),7,加法適合的4條運算性質(zhì)：,數(shù)乘適合的4條運算性質(zhì)：,8,定理：對數(shù)k與向量，則k=0的充分必要條件是k=0或=0。,(請你自己給出證明),9,1.線性表示。,例3.零向量可由任意向量組線性表示，只要取組合系數(shù)全部為零即可。,二.向量間的線性關(guān)系,10,例4：m個方程n個未知量的線性方程組,11,的系數(shù)矩陣A的第j列與的常數(shù)項均可由m維的向量來表示，(也可取増廣矩陣的第j列),提示：方程個數(shù)=向量維數(shù)，未知量個數(shù)=A中列向量的向量個數(shù)。,12,稱為線性方程組的向量表示。,因此我們有,定理：(書上P70,P57）向量可以用向量組12n線性表示的充分必要條件是線性方程組有解。(解向量的分量即為線性表示的組合系數(shù)),13,例6：設(shè)向量組,(向量相等即向量的對應(yīng)分量相等),14,(理由同前),這是一個矛盾方程組，無解。,向量可以由123，線性表示，而不能由1，2線性表示，這與向量組，1，2和向量組，123本身的屬性有關(guān)。,15,因此，我們引入下面的概念：(第二個線性關(guān)系),2.向量組的線性相關(guān)(無關(guān))。,定義：設(shè)向量組,線性無關(guān)。(本定義要求知道向量的分量),16,由于齊次線性方程組要么只有零解，要么必有非零解，兩者必有一個成立。所以，一個向量組要么線性無關(guān)，要么線性相關(guān)，兩者必有一個成立。,向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)的幾何意義見書上P73,P59請自看！,例1.判斷向量組1=(1，0，-1，2)，2=(-1，-1，2，-4)，3=2，3，-5，10是否線性相關(guān)。,解：設(shè)有數(shù)k1，k2，k3使得k11+k22+k33=0，代入向量的分量可得關(guān)于未知量k1，k2，k3的齊次線性方程組,17,對齊次線性方程組應(yīng)用矩陣消元法，,非零行數(shù)r=2,未知量個數(shù)=3,18,由階梯形矩陣可知齊次線性方程組有非零解，即向量組線性相關(guān)。,解：設(shè)k11+k22+knn=0，即12n所以ki=0，i=1，2.n。即1，2.n線性無關(guān)。,由向量組線性相關(guān)(無關(guān))的定義，不難得到：,定理：n+s(s>0的整數(shù))個n維向量必線性相關(guān)。,19,證明：這是因為相應(yīng)的齊次線性方程組中方程個數(shù)<未知量個數(shù)，固齊次線性方程組必有非零解,從而向量組必線性相關(guān)。,方程個數(shù)=向量維數(shù),未知量個數(shù)=向量個數(shù),線性相關(guān)的充分必要條件是,20,線性無關(guān)的條件是？,證明：因為相應(yīng)的齊次線性方程組中，方程個數(shù)=未知量個數(shù)=n，此時,齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式D=0，從而向量組線性相關(guān)的充分必要條件是行列式D=0。,*使用本定理時要注意定理的前提。(向量的個數(shù)=向量的維數(shù))*本定理的條件也可改為DT=0.,21,回憶向量組線性相關(guān)的定義，向量組是否線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組是否有非零解。,也就是說是否有不全為零的數(shù)k1，k1.ks使得向量等式k11+k22+.+kss=0成立。,因此我們可以給出下面的向量組線性相關(guān)的定義。(抽象定義),22,*定義隱含了只要向量組1，2s線性相關(guān)，就一定存在不全為的數(shù)k1，k2ks使得向量等式k11+k22+kss=0成立,(或者，由出發(fā)，能推導(dǎo)出不全為零，則有向量組線性相關(guān)。),請問：向量組線性無關(guān)的抽象定義如何敘述。,例3.已知向量組線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)。證明：設(shè),23,求解齊次線性方程組，得只有零解，即所以向量組,24,求解齊次線性方程組,得有非零解,即存在不全為零的數(shù)1，2，3，4使式成立，,25,所以向量組線性相關(guān)。,思考題：已知向量組線性無關(guān)，1.n為偶數(shù)時，判斷向量組，是否線性相關(guān)。,2.向量組線性無關(guān)(相關(guān))的充分必要條件是？,例5.含有零向量的向量組線性相關(guān)。,26,例6.單個非零的n維向量線性無關(guān)。,例7.如果一個向量組的部分向量線性相關(guān)，則這個向量組也線性相關(guān)。,27,由本例還可以得到：,如果一個向量組線性無關(guān)，則它的任何一個部分組也線性無關(guān)。,28,想一想，這是為什么？你能否自己給出證明。,在證明向量組線性相關(guān)(無關(guān))時，反證法也是常用方法之一。,定理：向量組(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余s-1個向量線性表示。證明：必要性，,29,即可由其余的向量線性表示。,充分性，,30,且有：成立。所以向量組線性相關(guān)。,推論：向量組(s2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示。,*定理與推論給出了線性相關(guān)(無關(guān))和線性表示之間的關(guān)系，線性無關(guān)的向量組中的向量之間是相互獨立的；而線性相關(guān)的向量組中的向量之間是相互不獨立的，即是有關(guān)系的。,31,32,33,小結(jié)：主要掌握以下兩點：,正確理解并掌握n維向量線性表示，線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義(兩個)定理，并能靈活應(yīng)用以及判斷向量組的線性表示，線性相關(guān)與線性無關(guān)-這是本節(jié)的重點！以及線性相關(guān)與線性表示間的關(guān)系。,2.希望理解并掌握本節(jié)書上與課上講的所有例子，特別是關(guān)于證明向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的例子及書上的習(xí)題。,本課程的總成績：=作業(yè)(15)+期中(30)+期末(55)本課程的答疑時間與地點：地點：理科1號樓1422室。時間：周二12:30-14:30;周五12:30-14:30.,34,1.一個例子.給定線性方程組,將每一個方程的系數(shù)(含常數(shù)項)看成一個向量，則可得3個5維向量，設(shè)為，,課外閱讀,易知312即向量組1,2,3線性相關(guān)，,35,對線性方程組來說，第3個方程可以由第1個方程加2倍的第2個方程得到，即：第3個方程是多余的方程。,上例說明可以從線性方程組中有沒有多余的方程來理解向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的。,(若向量組線性無關(guān)，則線性方程組中沒有多余的方程，即中的方程是互相獨立的。),2.你能否下面結(jié)論的證明。,36,本結(jié)論可作為定理用！,*本定理是書上P80,P65命題1與推論2的另一種敘述！,3.關(guān)于向量組的線性相關(guān)與無關(guān)可以從以下幾個方面刻畫：（書上P7576,P61-62）,1).線性組合向量組12s線性相關(guān)它們有組合系數(shù)不全為零的線性組合是零向量。向量組12s線性無關(guān)它們只有組合系數(shù)全為零的線性組合是零向量。,37,2).線性表示向量組12s線性相關(guān)其中至少有一個向量可由其余向量線性表示。向量組12s線性無關(guān)其中每一個向量都不能由其余向量線性表示。,3).齊次線性方程組(知道向量的分量)向量組12s線性相關(guān)齊次線性方程組k11+k22+.+k11=0有非零解。向量組12s線性無關(guān)齊次線性方程組k11+k22+.+k11=0只有零解。,38,4).行列式(是s個s維向量且知道向量的分量)向量組12s線性相關(guān)以12s的分量為列(或行）所得s階行列式=0。向量組12s線性無關(guān)以12s的分量為列(或行）所得s階行列式0。,