IIR數(shù)字濾波器的設計.ppt

第5章無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計,5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.2模擬濾波器的設計5.3用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器,5.1數(shù)字濾波器的基本概念,1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應(IIR)濾波器和有限脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：,圖5.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性,2數(shù)字濾波器的技術要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：,圖5.1.2低通濾波器的技術要求,通帶內和阻帶內允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內允許的最大衰減用αp表示，阻帶內允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：,(5.1.3),(5.1.4),如將|H(ej0)|歸一化為1，(5.1.3)和(5.1.4)式則表示成：,(5.1.5),(5.1.6),3.數(shù)字濾波器設計方法概述IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不相同的。IIR濾波器設計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,5.2模擬濾波器的設計,模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。,圖5.2.1各種理想濾波器的幅頻特性,1.模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設計指標有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，αp是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，αs是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：,(5.2.1),(5.2.2),如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術指標用圖5.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因,(5.2.3),(5.2.4),圖5.2.2低通濾波器的幅度特性,濾波器的技術指標給定后，需要設計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應為實數(shù)，因此,(5.2.5),2.巴特沃斯低通濾波器的設計方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：,(5.2.6),圖5.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關系,將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：,(5.2.7),此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：,(5.2.8),圖5.2.4三階巴特沃斯濾波器極點分布,為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構成Ha(s)，而右半平面的N個極點構成Ha(s)。Ha(s)的表示式為,設N=3，極點有6個，它們分別為,取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：,由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為,(5.2.10),(5.2.11),式中，pk為歸一化極點，用下式表示：將極點表示式(5.2.12)代入(5.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示：,(5.2.12),將Ω=Ωs代入(5.2.6)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(5.2.4)式中，得到：,(5.2.14),(5.2.15),由(5.2.14)和(5.2.15)式得到：,令,,則N由下式表示：,(5.2.16),用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應取大于等于N的最小整數(shù)。關于3dB截止頻率Ωc，如果技術指標中沒有給出，可以按照(5.2.14)式或(5.2.15)式求出，由(5.2.14)式得到：,由(5.2.15)式得到：,(5.2.17),(5.2.18),總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下：(1)根據(jù)技術指標Ωp,αp,Ωs和αs，用(5.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。(2)按照(5.2.12)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(5.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。,表5.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),例5.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。,(2)按照(5.2.12)式，其極點為,按照(5.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為,上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表5.2.1簡單，由N=5，直接查表得到：極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000,式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。按照(5.2.17)式，得到：,將Ωc代入(5.2.18)式，得到：,將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：,3.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計為了防止符號混淆，先規(guī)定一些符號如下：1)低通到高通的頻率變換λ和η之間的關系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉換：,(5.2.41),(5.2.40),圖5.2.9低通與高通濾波器的幅度特性,模擬高通濾波器的設計步驟如下：(1)確定高通濾波器的技術指標：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。(2)確定相應低通濾波器的設計指標：按照(5.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉換成低通濾波器的邊界頻率，各項設計指標為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。,(3)設計歸一化低通濾波器G(p)。(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(5.2.40)式，轉換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得例5.2.3設計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。,(5.2.42),解①高通技術要求：fp=200Hz,αp=3dB;//3dbfcfs=100Hz,αs=15dB歸一化頻率,②低通技術要求：,③設計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故,④求模擬高通H(s)：2)低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖5.2.10所示。,圖5.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性,表5.2.2η與λ的對應關系,由η與λ的對應關系，得到：,由表5.2.2知λp對應ηu，代入上式中，有,(5.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉換成低通的邊界頻率。下面推導由歸一化低通到帶通的轉換公式。由于,(5.2.43),將(5.2.43)式代入上式，得到：,將q=jη代入上式，得到：,為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：,(5.2.44),(5.2.45),上式就是由歸一化低通直接轉換成帶通的計算公式。下面總結模擬帶通的設計步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術指標，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu-Ωl與以上邊界頻率對應的歸一化邊界頻率如下：,(2)確定歸一化低通技術要求：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設計歸一化低通G(p)。(4)由(5.2.45)式直接將G(p)轉換成帶通H(s)。,例5.2.4設計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π200rad/s，中心頻率Ω0=2π1000rad/s，通帶內最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π830rad/s,Ωs2=2π1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術要求：Ω0=2π1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π830rad/s,Ωs2=2π1200rad/s,αs=15dBB=2π200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6,(2)模擬歸一化低通技術要求：,取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)設計模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表5.2.1，得,(4)求模擬帶通H(s)：,3)低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖5.2.11所示。,圖5.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性,圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl，B作為歸一化參考頻率。相應的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl,表5.2.3η與λ的對應關系,根據(jù)η與λ的對應關系，可得到：且ηuηl=1，λp=1，(5.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(5.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得上式就是直接由歸一化低通轉換成帶阻的頻率變換公式。,(5.2.46),(5.2.47),(5.2.48),下面總結設計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω20=ΩuΩl，阻帶寬度B=Ωu-Ωl它們相應的歸一化邊界頻率為ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。,(2)確定歸一化模擬低通技術要求，即：取λs和λs的絕對值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。(3)設計歸一化模擬低通G(p)。(4)按照(5.2.48)式直接將G(p)轉換成帶阻濾波器H(s)。,例5.2.5設計模擬帶阻濾波器，其技術要求為：Ωl=2π905rad/s,Ωs1=2π980rad/s,Ωs2=2π1020rad/s,Ωu=2π1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設計巴特沃斯帶阻濾波器。解(1)模擬帶阻濾波器的技術要求：Ωl=2π905,Ωu=2π1105;Ωs1=2π980,Ωs2=2π1020;Ω20=ΩlΩu=4π+21000025,B=Ωu-Ωl=2π200;,ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術要求：,(3)設計歸一化低通濾波器G(p):,(4)帶阻濾波器的H(s)為,5.3用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器,為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。,設模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t),設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：,(5.3.1),式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：,(5.3.2),式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：,(5.3.3),對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：,(5.3.4),設ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，,對進行拉氏變換，得到:,式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:,(5.3.5),上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系可用下式表示：我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關系滿足(1.5.5)式，重寫如下：,(5.3.6),將s=jΩ代入上式，得,由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:,(5.3.7),(5.3.8),(5.3.9),上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可稱為標準映射關系。下面進一步分析這種映射關系。設,按照(5.3.6)式，得到:,因此得到:,(5.3.10),那么σ=0,r=1σ0,r>1另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成,為任意整數(shù),圖5.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關系,圖5.3.2脈沖響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象,假設沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(5.3.9)式，并將關系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令,一般Ha(s)的極點si是一個復數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(5.3.1)式中將一對復數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為,極點為,(5.3.11),可以推導出相應的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)乘法)的形式為,(5.3.12),如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為,極點為,(5.3.13),(5.3.14),例5.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：,極點為,那么H(z)的極點為,按照(5.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到設T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則,轉換時，也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式進行轉換。首先將Ha(s)寫成(5.3.13)式的形式，如極點s1,2=σ1jΩ1,則,再按照(5.3.14)式，H(z)為,圖5.3.3例5.3.1的幅度特性,