§6線性變換的值域與核.ppt
6線性變換的值域與核,一、值域與核的概念,二、值域與核的有關(guān)性質(zhì),一、值域與核的概念,定義1:設(shè)是線性空間V的一個(gè)線性變換,,集合,稱為線性變換的值域,也記作或,集合,稱為線性變換的核,也記作,注:皆為V的子空間.,事實(shí)上,且對(duì),有,即對(duì)于V的加法與數(shù)量乘法封閉.,為V的子空間.,再看,首先,,又對(duì)有從而,即,故為V的子空間.,對(duì)于V的加法與數(shù)量乘法封閉.,定義2:線性變換的值域的維數(shù)稱為的秩;,的核的維數(shù)稱為的零度.,例1、在線性空間中,令,則,所以D的秩為n1,D的零度為1.,1.(定理10)設(shè)是n維線性空間V的線性變換,,是V的一組基,在這組基下的矩陣是A,,則,1)的值域是由基象組生成的子空間,即,2)的秩A的秩.,二、有關(guān)性質(zhì),即,又對(duì),證:1)設(shè),于是,有,因此,,的秩,又,秩秩,等于矩陣A的秩.,2)由1),的秩等于基象組,由第六章5的結(jié)論3知,的秩,2.設(shè)為n維線性空間V的線性變換,則,的秩的零度n,即,證明:設(shè)的零度等于r,在核中取一組基,并把它擴(kuò)充為V的一組基:,生成的.,由定理10,是由基象組,但,設(shè),則有,下證為的一組基,即證它們,即可被線性表出.,線性無(wú)關(guān).,設(shè),于是有,由于為V的基.,的秩nr.,因此,的秩的零度n.,故線性無(wú)關(guān),即它為的一組基.,雖然與的維數(shù)之和等于n,但是,未必等于V.,如在例1中,注意:,)是滿射,證明:)顯然.,)因?yàn)槿魹閱紊洌瑒t,3.設(shè)為n維線性空間V的線性變換,則,)是單射,反之,若任取若,則,即,故是單射.,從而,是單射是滿射.,證明:是單射,4.設(shè)為n維線性空間V的線性變換,則,是滿射.,例2、設(shè)A是一個(gè)n階方陣,證明:A相似于,證:設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換在一,組基下的矩陣,即,一個(gè)對(duì)角矩陣,由知,任取設(shè),則,故有當(dāng)且僅當(dāng),因此有,又,所以有,從而是直和.,在中取一組基:,則就是V的一組基.,顯然有,,在中取一組基:,用矩陣表示即,所以,A相似于矩陣,線性變換在此基下的矩陣為,1)求及,2)在中選一組基,把它擴(kuò)充為V的一組基,,并求在這組基下的矩陣.,并求在這組基下的矩陣.,3)在中選一組基,把它擴(kuò)充為V的一組基,,例3、設(shè)是線性空間V的一組基,已知,解:1)先求設(shè)它在,下的坐標(biāo)為,故,由于有在下的坐標(biāo)為,解此齊次線性方程組,得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系:,從而,是的一組基.,由于的零度為2,所以的秩為2,,又由矩陣A,有,即為2維的.,再求,2)因?yàn)?從而有,所以,線性無(wú)關(guān),,就是的一組基.,而,可逆.,從而,線性無(wú)關(guān),即為V的一組基.,在基下的矩陣為,3)因?yàn)?可逆.,而,從而線性無(wú)關(guān),即為V的一組基.,在這組基下的矩陣為,作業(yè),P32616,