兩角差的余弦公式【重要知識(shí)】

人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版版必修必修43.1 3.1 兩角和與差的正兩角和與差的正弦、余弦、正切公式弦、余弦、正切公式兩角差的余弦公式1重點(diǎn)輔導(dǎo)教材分析學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)教法學(xué)法教學(xué)過程2重點(diǎn)輔導(dǎo) 教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)本節(jié)是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修四第三章第一節(jié)的內(nèi)容，驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修四第三章第一節(jié)的內(nèi)容，是本模塊第一章是本模塊第一章銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)和第二和第二章章平面向量平面向量相關(guān)知識(shí)的延伸和拓展，也是相關(guān)知識(shí)的延伸和拓展，也是本節(jié)中推導(dǎo)兩角和、差、倍角、半角等三角本節(jié)中推導(dǎo)兩角和、差、倍角、半角等三角恒等變換公式的基礎(chǔ)，可以說是起承上啟下，恒等變換公式的基礎(chǔ)，可以說是起承上啟下，串聯(lián)全書的作用。串聯(lián)全書的作用。3重點(diǎn)輔導(dǎo)本節(jié)的知識(shí)基礎(chǔ)是：三角函數(shù)線與向量的數(shù)本節(jié)的知識(shí)基礎(chǔ)是：三角函數(shù)線與向量的數(shù)量積量積教學(xué)要求教學(xué)要求:1 1、借助單位圓，運(yùn)用三角函數(shù)線向量的方法、借助單位圓，運(yùn)用三角函數(shù)線向量的方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式；推導(dǎo)兩角差的余弦公式；2 2、能夠使用兩角差的余弦公式求特殊角和差、能夠使用兩角差的余弦公式求特殊角和差角的余弦值；角的余弦值；3 3、讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系，培養(yǎng)邏、讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理的思維能力，樹立創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意輯推理的思維能力，樹立創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。識(shí)，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。4重點(diǎn)輔導(dǎo)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式及平面向量，這為他們探究?jī)山遣畹挠嘞夜浇⒘肆己玫幕A(chǔ)。但學(xué)生的邏輯推理能力畢竟有限，要發(fā)現(xiàn)并證明公式 C C(-)有一定的難度，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流，探索兩角差的余弦公式，完成本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)5重點(diǎn)輔導(dǎo)1.1.知識(shí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo).掌握運(yùn)用單位圓中的三角函數(shù)線和向量的方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式.掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，能夠簡(jiǎn)單運(yùn)用公式.2.2.能力目標(biāo)能力目標(biāo).在公式探究過程中體會(huì)從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想.通過公式的探究、靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.3.情感目標(biāo)情感目標(biāo).通過公式的推導(dǎo)論證過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于探索的精神.6重點(diǎn)輔導(dǎo)教學(xué)重點(diǎn) 兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程及簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn) 兩角差的余弦公式的猜想與推導(dǎo)，探索過程的組織和引導(dǎo)。7重點(diǎn)輔導(dǎo) 教法學(xué)法分析教法學(xué)法分析：根據(jù)學(xué)生情況，本節(jié)課的特點(diǎn)，按照高中學(xué)生的根據(jù)學(xué)生情況，本節(jié)課的特點(diǎn)，按照高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，遵循認(rèn)知規(guī)律，遵循“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線”的指導(dǎo)思想，為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破的指導(dǎo)思想，為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：難點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：導(dǎo)入（創(chuàng)設(shè)情境）導(dǎo)入（創(chuàng)設(shè)情境）自主學(xué)習(xí)（針對(duì)自主學(xué)習(xí)（針對(duì)提出的問題）提出的問題）合作探究（探索、嘗試、合作探究（探索、嘗試、啟發(fā)、誘導(dǎo)解決問題）啟發(fā)、誘導(dǎo)解決問題）練習(xí)練習(xí)小結(jié)小結(jié)練習(xí)練習(xí)課后拓展（作業(yè)）課后拓展（作業(yè)）8重點(diǎn)輔導(dǎo)ABCD306745五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程 課題課題的引入的引入教學(xué)教學(xué)過程分析過程分析數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。因此，我將整個(gè)教學(xué)過程分為以下六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：1.1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 引例引例 某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示,小山高BC約為30米,在地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得A、C兩點(diǎn)間距離約為67米,從A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角(CAD)約為45.求這座電視發(fā)射塔的高度.【設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖】從課本章頭實(shí)際問題作為情境，引入課題，這有利于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。同時(shí)提出本章的研究課題。.實(shí)際問題中存在研究像tan（45+）這樣包含兩個(gè)角的三角函數(shù)的需要；.實(shí)際問題中存在研究像sin與tan（45+）這樣包含兩角和的三角函數(shù)與單角，45的三角函數(shù)的關(guān)系的需要；9重點(diǎn)輔導(dǎo)2.2.探索公式，建構(gòu)新知探索公式，建構(gòu)新知1 1、憑憑直覺得出直覺得出coscos（）=cos=coscoscos是學(xué)生經(jīng)常是學(xué)生經(jīng)常出出現(xiàn)的現(xiàn)的錯(cuò)誤，通過討論可以知道它不是對(duì)任意角錯(cuò)誤，通過討論可以知道它不是對(duì)任意角、都成立都成立的；的；2 2、在回顧求角的余弦有哪些方法時(shí)，聯(lián)系向量知識(shí)，體會(huì)、在回顧求角的余弦有哪些方法時(shí)，聯(lián)系向量知識(shí)，體會(huì)向量方法的作用；向量方法的作用；3 3、教師提出幾個(gè)合理的問題、教師提出幾個(gè)合理的問題,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合有關(guān)圖形，討論引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合有關(guān)圖形，討論完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備；完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備；(1)(1)、結(jié)合圖形、結(jié)合圖形,明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量,它們?cè)趺幢硎舅鼈冊(cè)趺幢硎?(2)(2)、怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計(jì)算公式得到探索結(jié)果、怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計(jì)算公式得到探索結(jié)果?4 4、探索過程不應(yīng)追求一步到位，應(yīng)先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，、探索過程不應(yīng)追求一步到位，應(yīng)先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題及其討論線索進(jìn)行探索，然后再作反思，予以抓住主要問題及其討論線索進(jìn)行探索，然后再作反思，予以完善。（這也是處理一般探索性問題應(yīng)遵循的原則完善。（這也是處理一般探索性問題應(yīng)遵循的原則)10重點(diǎn)輔導(dǎo)PP1OxyA AM如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角 為銳角，且為銳角，且，1PMxPAOP作軸，法一（三角函數(shù)線）法一（三角函數(shù)線）要獲得要獲得 的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過的知識(shí)？的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過的知識(shí)？cos()涉及涉及 三角的余弦值，可以考慮聯(lián)系單位圓上三角的余弦值，可以考慮聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線或向量的夾角公式的三角函數(shù)線或向量的夾角公式.11重點(diǎn)輔導(dǎo)那么我們用三角函數(shù)來表示這些線段：整理可得：cos()coscossinsin.引導(dǎo)學(xué)生討論最簡(jiǎn)單的情況12重點(diǎn)輔導(dǎo)cossincossinOAOB ，,cos()cos().OA OBOA OB coscossinsin.OA OB BA1-1yxo在單位圓中在單位圓中cos()coscossinsin.法二（向量法）法二（向量法）13重點(diǎn)輔導(dǎo)對(duì)于任意對(duì)于任意 ,有有，cos()coscossinsin.稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記為稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記為().C【設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖】教師通過提問引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動(dòng)，相互討論，合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問題層層深入，最后達(dá)到推導(dǎo)的完備。從而讓學(xué)生體驗(yàn)探究的過程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式3.3.認(rèn)識(shí)公式，深化理解認(rèn)識(shí)公式，深化理解14重點(diǎn)輔導(dǎo)233sincos,2),324cos 31、已知，（，），(2求（）。目的是讓學(xué)生鞏固已學(xué)公式目的是讓學(xué)生鞏固已學(xué)公式coscos()0,2cos.1472、已知=，=-，,1751求目的是讓學(xué)生初步體會(huì)拆分的思想方法。目的是讓學(xué)生初步體會(huì)拆分的思想方法。4.4.例題講解，鞏固應(yīng)用例題講解，鞏固應(yīng)用15重點(diǎn)輔導(dǎo)5.5.變式演練，深化認(rèn)識(shí)變式演練，深化認(rèn)識(shí)【設(shè)計(jì)意圖】【設(shè)計(jì)意圖】.通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式的理解，使學(xué)生掌握公式的正用，逆用，變角使用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)思維的創(chuàng)新意識(shí)。.練習(xí)2有一定難度，可根據(jù)學(xué)生的接受情況，在具體教學(xué)中可根據(jù)不同程度的教學(xué)對(duì)象及課堂學(xué)生的反應(yīng)情況進(jìn)行刪減與調(diào)整。16重點(diǎn)輔導(dǎo)6.6.課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)，作業(yè)布置小結(jié)小結(jié)1）.公式探究的一般步驟：特殊猜想證明2）.在運(yùn)用兩角差的余弦公式時(shí)應(yīng)注意：根據(jù)角的范圍，確定兩角正、余弦值的正負(fù)適當(dāng)逆用公式，可達(dá)到化簡(jiǎn)計(jì)算的目的靈活選取兩角的形式，活用公式【設(shè)計(jì)意圖】【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).作業(yè)布置作業(yè)布置習(xí)題3.1 A組2、3、4、517重點(diǎn)輔導(dǎo)18重點(diǎn)輔導(dǎo)