人教版-高中數(shù)學選修4-5 三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式【重要知識】

1重點輔導類比基本不等式的形式，猜想對于類比基本不等式的形式，猜想對于3個正個正數(shù)數(shù)a，b，c，可能有，可能有2重點輔導類比基本不等式的形式，猜想對于類比基本不等式的形式，猜想對于3個正個正數(shù)數(shù)a，b，c，可能有，可能有 ，那么，那么 ，當且僅當，當且僅當a=b=c時，時，等等號成立號成立 Rcba,33abccba 3重點輔導.,3,:333等號成立等號成立時時當且僅當當且僅當則則若若證明證明cbaabccbaRcba 和的立方公式：3223333)(yxyyxxyx 立方和公式：)(2233yxyxyxyx 4重點輔導定理定理 如果如果 ，那么，那么 當且僅當當且僅當a=b=c時，等號成立時，等號成立 Rcba,33abccba （）若三個正數(shù)的積是一個常數(shù)，那么（）若三個正數(shù)的積是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的和有當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的和有最小值最小值（）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么（）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的積有當且僅當這三個正數(shù)相等時，它們的積有最大值最大值5重點輔導 n個正數(shù)的算術個正數(shù)的算術幾何平均不等式：幾何平均不等式：.,321321321321等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 6重點輔導例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值下面解法是否正確？為什么？下面解法是否正確？為什么？)0(322 xxxy解法：由解法：由 知知 ，則，則 當且僅當當且僅當0 x03,022 xxxxxxxy623223222 33min321822362,2332 yxxx時時即即7重點輔導解法解法2：由：由 知知 ，則，則 例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值下面解法是否正確？為什么？下面解法是否正確？為什么？)0(322 xxxy0 x02,01,022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y8重點輔導例例 求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)0(322 xxxy解法：由解法：由 知知 則則 0 x,023,022 xx332222932323232323232 xxxxxxxxy33min32362329343232 yxxx時時即即當且僅當當且僅當9重點輔導的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù))0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266（）變式：變式：C_)1(1642222的最小值是的最小值是、函數(shù)、函數(shù) xxy810重點輔導例例2如下圖，把一塊邊長是如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子子,問切去的正方形邊長是多少時，才能使問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？盒子的容積最大？ax11重點輔導解：設切去的正方形邊長為解：設切去的正方形邊長為x，無蓋方底，無蓋方底盒子的容積為盒子的容積為V，則，則xxaV2)2(xxaxa4)2)(2(41 27234)2()2(4133axxaxa 當且僅當即當當且僅當即當時，不等式取等號，此時取最大值時，不等式取等號，此時取最大值 即當切去的小正方形邊長是原來正方形邊即當切去的小正方形邊長是原來正方形邊長的長的 時，盒子的容積最大時，盒子的容積最大xxaxa422 6ax 2723a6112重點輔導練習：練習：的最大值是的最大值是、函數(shù)、函數(shù))20)(2(124 xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D_)(1,2 bbaabaRba則則且且、若、若313重點輔導的最小值是的最小值是則則、若、若yxxyRyx24,32 A、4B、C、6D、非上述答案、非上述答案343（）B_111,1,4的值不小于的值不小于則則且且、已知、已知cbacbaRcba 914重點輔導29)111)(,.5 accbbacbaRcba求證求證 ,8 81,1 1,81B.810,A.)(),(1)11)(11)(11(.6DCMRcbacbacbaM的取值范圍是的取值范圍是則則且且設設D.)2,0(,cossin.72的的最最大大值值求求函函數(shù)數(shù) xxxy15重點輔導小結(jié)：小結(jié)：這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題。現(xiàn)在，我們又多了一種函數(shù)的最值問題?，F(xiàn)在，我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值的方法。這是平均值定理的一個重要應用的方法。這是平均值定理的一個重要應用也是本章的重點內(nèi)容，應用定理時需注意也是本章的重點內(nèi)容，應用定理時需注意“一正二定三相等一正二定三相等”這三個條件缺一不可，這三個條件缺一不可，不可直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化，這里不可直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化，這里關鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件，通過運用有關關鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件，通過運用有關變形的具體方法，以達到化歸的目的。變形的具體方法，以達到化歸的目的。16重點輔導作業(yè)：作業(yè)：習題習題.（第頁）第、題（第頁）第、題17重點輔導思考題：思考題：已知：長方體的全面積為定值，試問這已知：長方體的全面積為定值，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值體積最大，求出這個最大值解：設長方體的體積為解：設長方體的體積為V，長、寬、高分別，長、寬、高分別是是a，b，c，則，則V=abc，S=2ab+2bc+2ac22)(abcV )()(acbcab 21663333SSacbcab 18重點輔導66222,216,32ScbaSacbcabcbaSVcbaacbcab 解得解得由由有最小值有最小值號號上式取上式取時時即即當且僅當當且僅當36666:SSS體積的最大值為體積的最大值為時時于于當長方體的長寬高都等當長方體的長寬高都等答答19重點輔導