《數(shù)學家生日蛋糕》PPT課件.ppt

實驗四,數(shù)學家的生日蛋糕,積分,天津蛋糕4000-000-010,一、引例：數(shù)學家的生日蛋糕,某數(shù)學家的學生要送一個特大的蛋糕來慶賀他90歲生日。為了紀念他提出的口腔醫(yī)學的懸鏈線模型，學生們要求蛋糕店老板將蛋糕邊緣半徑作成下列懸鏈線函數(shù)r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5,0<h<1(單位：米)。蛋糕的成本取決于蛋糕的重量和表面積（底面除外），問如何計算重量和表面積？,解設(shè)高為H，半徑r,比重為k若蛋糕是單層圓盤的，則蛋糕的重量和表面積分別為：W=kHr2S=2Hr+r2若蛋糕是雙層的，每層高H/2，下層半徑r1,上層半徑r2，則W=kH(r12+r22)/2S=H(r1+r2)+r22如果蛋糕是n層的，每層高H/n，半徑分別r1,rn,則,r,H,r1,r2,若蛋糕邊緣是曲線r=r(h),0<h<H，各層半徑近似為ri=r(i-1/2)H/n),i=1,n,那么當n，,二、數(shù)學理論復(fù)習：積分函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的積分定義為,其中a=x0<x1<<xn=b,xi=xi-xi-1,i(xi-1,xi),i=1,2,n,若在a,b上,F(x)=f(x),則,二重積分定義為,三、數(shù)值積分：梯形法和重積分1、梯形法,在xi-1,xi上f(x)近似為一直線，用弦線代替，則,設(shè)f(x)在a,b上大于0，a=x0<x1<<xn=b,則,a,xi-1,b,xi,通常將a,b區(qū)間n等分，h=(b-a)/n,xi=a+ih,稱為梯形公式,2、重積分重積分的數(shù)值計算可通過單積分組合計算,我們利用梯形法，先將a,b區(qū)間m等分，hx=(b-a)/m,xi=a+ihx,i=0,1,m,再將c(xi),d(xi)區(qū)間n等分,hy(i)=(d(xi)-c(xi)/n,yij=c(xi)+jhy(i),則,G(xi),A,a,b,d(x),c(x),其中,M文件dblquad2.m給出二重積分數(shù)值計算法。I=dblquad2(f_name,a,b,c_lo,d_hi,m,n)其中f_name為被積函數(shù)f(x,y)字符串,其中x為標量,y為向量,c_lo和d_hi是y的下上限;a,b為x的下上限；m,n為x和y方向的等分數(shù)(缺省值100)。,四、使用MATLAB,解將被積函數(shù)及y的上下限函數(shù)寫為M函數(shù)文件，再調(diào)用dblquad2即可求解。,例1,trapz梯形法積分quad變步長數(shù)值積分int符號積分quad8高精度數(shù)值積分dblquad矩形區(qū)域的二重積分,1、梯形積分法trapz是最基本的數(shù)值積分方法,精度低。z=trapz(x,y),返回積分的近似值，其中x表示積分區(qū)間的離散化向量;y是與x同維數(shù)的向量,表示被積函數(shù)。,例2,解clear;x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y),2、變步長數(shù)值積分z=quad8(fun,a,b,tol)返回積分的近似值，其中fun表示被積函數(shù)的M函數(shù)名,a、b表示積分下上限,tol為精度,缺省值為1e-30。,注1：quad用法與quad8相同，但quad8精度較高，且對假收斂和假奇異積分具有一定適應(yīng)性，而quad較差。,注2：trapz,quad,quad8都不能用于求廣義積分。,3、重積分,矩形區(qū)域二重積分.z=dblquad(fun,a,b,c,d)其中fun表示被積函數(shù)f的M函數(shù)名,a,b表示變量x的下上限，c,d表示變量y的下上限。,dblquad只能求矩形區(qū)域的二重積分，不如上述M函數(shù)dblquad2適用面廣。,4、符號積分int(s)符號表達式s的不定積分；int(s,v)符號表達式s關(guān)于變量v的不定積分；int(s,a,b)符號表達式s的定積分,a,b分別為下上限；int(s,v,a,b)符號表達式s關(guān)于變量v從a到b的定積分。,例3(引例)現(xiàn)在來求大蛋糕重量和表面積：解symsh;r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;vpa(int(pi*r2,h,0,1),5),rn=subs(r,h,1);vpa(int(2*pi*r,h,0,1)+pi*rn2,5),例4一半徑為5m的球形水罐充滿了水，底部有一半徑為b=0.1m的小孔漏水，問多少時間以后，水面下降至離底部0.5m?,解水從孔漏出的速度由下列能量方程決定g(z+R)=u2/2，u是速度,z表示從球心測量的水面高度,g為重力加速度。,考慮在時間dt內(nèi)水面變化dz，漏水的體積為uAdt=-x2dz其中x為高度z水面的半徑,A=b2由于R2=z2+x2得dt=,在頂部z=R水降到0.5m時，z=0.5-R，從而t=,5m,0.5m,0,